По объему понятия делятся на: пустые - не обозначающие ни одного предмета в рассматриваемой предметной области, единичные - обозначающие ровно один предмет, общие - более одного предмета и универсальные - обозначающие каждый предмет рассматриваемой предметной области.

Особенностью нашего изложения науки о доказательстве является то, что мы НЕ рассматриваем пустые понятия как тождественные: не одно и тоже быть Бабой Ягой, круглым квадратом или дубом на множестве млекопитающих. Для сравнения: в теории множеств мы исходим из того, что пустое множество единственно, поскольку не существует входящих в него элементов, которые отличали бы его от какого-либо другого пустого множества.

В общем случае можно сказать, что свойство понятия относиться к тому или иному виду зависит от предметной области, на которой мы используем данное понятие.
Например, понятие город-герой Волгоград - единичное на множестве городов Российской Федерации и пустое на множестве городов Соединённых Штатов Америки.

При формализации выражений естественного языка для записи единичных понятий мы используем предметные константы, а для записи общих - предикатные формы с приданными предметными переменными.

По содержанию понятия делятся на: простые - в содержании ровно один признак обозначаемого предмета и сложные - более одного признака; положительные - ни одни из признаков не содержит отрицания и отрицательные - хотя бы один из признаков содержит отрицание; относительные - хотя бы один из признаков выражает отношение и безотносительные - ни один из признаков не выражается отношения.
По типу обозначаемых понятием предметов на: собирательные - элементам объёма являются множества и несобирательные - все остальные; конкретные - обозначают предметы рассматриваемой предметной области и абстрактные - обозначают свойства или отношения предметов.

Операции с объемами понятий. Эти операции совпадают с соответствующими операциями на множествах, а те, в свою очередь, могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с нуль-, одно- и двухместными истинностными функциями исчисления высказываний.
Так, существует 4 одинарных и 16 двухместных операций, среди которых мы обычно выделяем: дополнение (неверно, что...), объединение (...или...), пересечение (...и...), вычитание (...и неверно, что...) и симметрическую разность (...либо...).

Объединение (the union) объемов понятий А и В - это операция, результате которой образуется новое понятие, обозначающее предметы, обладающие свойством А или свойством В.
Например, в результате объединения объемов понятий студент и спортсмен образуется новое понятие, обозначающее тех людей, которые являются студентами или спортсменами.
Для сравнения: пример 2.
{1, 2, 3} U {1, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}

Пересечение (the intersection) объемов понятий А и В - это операция, результате которой образуется новое понятие, обозначающее предметы, обладающие свойством А и свойством В.
Например, в результате объединения объемов понятий студент и спортсмен образуется новое понятие, обозначающее тех людей, которые являются студентами и спортсменами.

Пересечение. Пример 2.

Итак, следуя Аристотелю мы рассматриваем логику как науку о доказательстве.

Доказательство - это правильно построенная последовательность выражений.
Если в этих выражениях знаки обозначают только самих себя (используются автонимно), то такое доказательство называется формальным, если же эти выражения - высказывания, истинные или ложные на некоторой предметной области, то такое доказательство называется неформальным, или умозаключением.

Иными словами, выражения неформальное доказательство и умозаключение тождественны, то есть обозначают в точности одни и те же предметы. То есть:
Всякое неформальное доказательство есть умозаключение, и Всякое умозаключение есть неформальное доказательство.

Сказать "правильно построенная последовательность выражений" и "последовательность выражений, построенная по определённым правилам" - значит сказать одно и тоже.

В доказательствах, как формальных, так и неформальных, должен присутствовать знак, представляющий (указывающий на) переход от исходных выражений (посылок) к завершающему (заключению).
В естественном языке таким знаком являются слова "следовательно", "значит" и другие тому подобные, в языке специальных символов, как правило, применяется горизонтальная черта, или символ "|---", впервые использованный для этих целей Клини (на жаргоне логиков также называемый штопором).
Если подобный знак отсутствует, то у нас нет оснований считать такую последовательность выражений (высказываний) доказательством.

Таким образом, умозаключение (рассуждение), или неформальное доказательство - это последовательность высказываний, содержащая переход от одного или нескольких исходных высказываний (посылок) к другому высказыванию (заключению).
В логическом символизме переход от посылок к заключению в неформальном (содержательном) доказательстве выражается так называемым "двойным штопором" - символом "|==".

Символизм переходов

Если заключительное выражение (В на вышеуказанных схемах) выводимо из пустого множества исходных выражений (посылок), то такое выражение в формальном доказательстве называется теоремой, а в содержательном - общезначимым.
Если в какой-либо теории (например, исчислении высказываний или исчислении предикатов) Всякая теорема является общезначимым выражением, и наоборот, Всякое общезначимое выражение является теоремой, то говорят, что такая теория полна (или обладает свойством полноты).

Другим важным, наряду с полнотой, свойством теорий является их непротиворечивость: мы исходим из того, что возможность доказательства противоречащих друг другу выражений является нежелательной при построении теории.
Например, Исчисление высказываний как в гильбертовском (классическом), так и в генценовском (интуиционистском) вариантах непротиворечиво. Клини определяет это свойство как простую непротиворечивость: теория просто непротиворечива, если в ней ни одно выражение вместе со своим отрицанием не могут быть теоремами одновременно.

Установление таких свойств теорий как полнота и непротиворечивость традиционно относится к метаматематике, или теории доказательств, как её впервые назвал Гильберт. В рамках его подхода метаматематика - это содержательная метатеория, в которой по каким-либо параметрам, свойствам и критериям соотносятся формальные и другие содержательные теории.

Сейчас нам нужно вернуться к соотношению понятий "доказательство" и "умозаключение" и вспомнить, что ранее мы рассматривали доказательство как правильное умозаключение, утверждая, что Всякое доказательство есть правильное умозаключение и наоборот, Всякое правильно построенное умозаключение является доказательством.

Мы, таким образом, рассматривали доказательство как вид (разновидность) умозаключений, а именно как правильные умозаключения.

Теперь же мы поступаем иначе, рассматривая умозаключения как вид доказательств, а именно - как содержательные (неформальные) доказательства.

Это различие понимания отношений между понятиями доказательство и умозаключение показывает различия логики и метаматематики: в первом случае мы предполагаем уже существующей некоторую содержательную (неформальную) теорию, отношения между понятиями, высказываниями и умозаключениями которой мы формализуем в логике, используя специальный символизм; во втором - мы имеем дело с таким соотнесением формализмов содержательных и формальных теорий, который сам является содержательной теорией.

Проиллюстрируем это на парадоксе Лжеца. С точки зрения формальной точности и грамматической корректности передачи мысли в эпистолярном жанре мы должны были бы написать: "парадоксе, который называется "Лжец"", хотя с точки зрения обыденного, повседневного словоупотребления у нас не должно возникнуть особых проблем с пониманием.

Представим себе ситуацию, когда кто-то говорит: "Я лгу".

Напомним, что: 1) утверждения, в которых предмету приписывается признак (свойство или отношение) которым он обладает в рассматриваемой предметной области, и 2) утверждения, в которых наличие признака (свойства или отношения) отрицается у какого-либо предмета, который, действительно, не обладает им в рассматриваемой предметной области, называются истинными.
А также: 1) утверждения, в которых предмету приписывается признак (свойство или отношение), которым он не обладает в рассматриваемой предметной области или 2) утверждения, в которых наличие признака (свойства или отношения) отрицается у какого-либо предмета, который в действительности в рассматриваемой предметной области у него есть, называются ложными.