Таким образом, если исходную совокупность Е мы можем поставить во взаимно однозначное соответствие с рядом натуральных чисел (пересчитать), то полученную совокупность Е' - уже нет, поскольку ни одно бесконечное многообразие Еi' не содержится в совокупности Е, так как Е1 и Е1' отличаются первой характеристикой, Е2 и Е2' - второй, и так далее. Такая совокупность Е' считается несчётно бесконечной, а существование несчётно бесконечных множеств - доказанным.

Таким образом, мы получаем следующую классификацию чисел: множество натуральных чисел (включая нуль) (N) счётно, множество целых чисел (Z) - счётно, множество "рациональных" чисел (дробей) (Q) - счётно, и, кроме того каждое из них попарно может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с другим; множество "иррациональных" чисел несчётно бесконечно и множество действительных (real number) чисел (R) - тоже несчётно бесконечно.

Умозаключение (рассуждение) - последовательность высказываний, в которой одно высказывание выводится из одного или нескольких других. Исходные высказывания называются посылками, а итоговое - заключением. В естественном языке на переход от посылок к заключению явным образом указывают слова "следовательно", "значит", "поэтому" и другие. В символической записи формы рассуждения мы показываем это горизонтальной чертой, отделяющей посылки от заключения, или символами " |- " и " |=" (первый для формальных, второй - для содержательных теорий), впервые использованными для этих целей Клини в 1934 году.

Умозаключения (рассуждения) можно делить на виды (классифицировать) разными способами: по количеству посылок, по форме перехода от посылок к заключению, по скорости данного перехода и другим - в каждом случае основанием деления будет выступать то или иное свойство умозаключений. Существенным для логики является свойство правильности умозаключений. Именно это свойство представляет собой предмет логики, который отличает её от других наук.

Все умозаключения, в соответствии с принципами противоречия и исключённого третьего, мы будем делить на правильные и неправильные, правильные, в свою очередь, на безусловно правильные и условно правильные, а неправильные - на правдоподобные и собственно неправильные.

Безусловно правильные, или всегда правильные, или дедуктивные (аподиктические - греч.🇬🇷) умозаключения - это те, правильность которых не зависит ни от природы объектов рассматриваемой предметной области, ни от их количества, а зависит только от их формы - то есть способа связи посылок и заключения в умозаключении или также способа связи понятий в посылках и заключении; символические выражения, используемые для записи форм таких умозаключений, называются общезначимыми формулами.

Условно правильные умозаключения - это те, форма которых выражается формулами тождественно истинными на определенном количестве предметов рассматриваемой предметной области (обозначим это количество как k) и которые перестают быть таковым на предметных областях, содержащих k+1 или больше объектов. Гильберт и Бернайс называют такие формулы тождественно истинными в конечном, а Клини - k-тождественно истинными. В общем виде можно сказать, что существуют формулы (которым соответствуют формы правильных рассуждений), истинные при любом, сколь угодно большом конечном количестве предметов рассматриваемой предметной области, но ложные при бесконечном, и существуют формулы, истинные на любых предметных областях (общезначимые).

Определяем правильность построения умозаключения двумя способами

Фигура I, модус AAI

Методом семантических таблиц

Обратим внимание, что если использовать общепринятую (с квантором всеобщности и без утверждения о непустоте предметной области) формулу для формы общеутвердительного высказывания, то доказательство методом семантических таблиц данного модуса не проходит.

Фигура I модус ААЕ

Заметим, что с использованием критерия неправильности умозаключения неправильность данного силлогизма доказывается проще: каждая посылка истинна, а заключение - ложно, поэтому данное умозаключение построено неправильно.

Фигура I модус ААО

Методом семантических таблиц

Какие преимущества даёт применение метода семантических таблиц по сравнению с общими правилами простого категорического силлогизма?
Прежде всего, метод семантических таблиц более общий - он может применяться не только для исчисления одноместных предикатов в теории моделей, но и в исчислении высказываний, и в исчислении предикатов большей местности.
Во-вторых, использование этого метода знакомит нас приёмами, которые будут использованы в других методах - исчислении секвенций, а также будут отражать те подходы, которые используются и при построении исчисления предикатов в теории доказательств.

Примечание. Нежирным курсивом выделены названия теорий, жирным курсивом - названия методов.

Понятие - форма мышления, позволяющая, благодаря указанию на какие-либо признаки (свойства или отношения) предметов, выделять предметы, обладающие этими признаками.
Всякое понятие, будучи знаком, обладает двумя характеристиками: смыслом и значением.
Смысловая характеристика понятия также называется его содержанием - это те признаки, на которые указывается в самом понятии.
Значение понятия, которое также называется его объемом - это множество предметов, обозначаемых данным понятием.
Особую группу понятий составляют собственные имена - они могут обозначать предмет, не указывая его признаков. Такие собственные имена мы можем рассматривать как результат соглашений пользователей языка.