При этом мы, с одной стороны, говорим, что "истина" и "ложь" - это значения высказываний, с другой - что в качестве высказываний мы можем рассматривать только те предложения (утверждения), которые строго соответствуют либо не соответствуют некоторому положению дел в рассматриваемой предметной области.
Кроме того и для рассмотрения данного парадокса, и для изучения логики в целом, и для метаматематических исследований в частности важно проговорить, что "говорить правду" и "произносить истинное высказывание" - это одно и тоже.

В ситуации с парадоксом лжеца мы, ближайшим образом, должны выделить три различных предметных области:
Во-первых, это – предметная область людей, состоящая по крайней мере из двух человек: Произносящего фразу «Я – лгу» и Наблюдателя-Исследователя (Интерпретатора), слушающего (читающего) эту фразу. На этой предметной области нас интересуют такие свойства этих людей, как способность говорить (писать) на определенном языке и способность слушать (читать), осознавая смысл услышанного.
Во-вторых, это – предметная область высказываний и их свойств – быть истинными или ложными, соответствовать или не соответствовать какому-либо положению дел в некоторой предметной области.
В-третьих, это – предметная область значений высказываний, состоящая ровно из двух объектов – истина и ложь, и их свойств – например, совпадать или не совпадать.

Иными словами, Парадокс Лжеца имеет следующий вид: «Я произношу сейчас предложение, и Это предложение указывает на свое собственное истинностное значение, и Значение этого предложения для некоторого Интерпретатора (Наблюдателя–Исследователя) – ложь».

В нашей версии парадокса лжеца (также как и в любых других) Наблюдатель, предположивший, что значение данного высказывания - ложь, обнаружит, что каждое из простых высказываний, входящих в состав сложного, истинно, а потому и вся конъюнкция истина. Если же мы с этим согласимся, и присвоим нашей конъюнкции значение "истина", то окажется, что его последнее высказывание ложно, и оно в целом тоже должно оказаться ложным.

Во вступительном слове к монографии Клини «Введение в метаматематику» переводчик А.С. Есенин–Вольпин пишет, что: «Имеются всё же две монографии, которые играют ведущую роль в мировой литературе по математической логике,— это книга Гильберта и Бернайса «Grundlagen der Mathematik» (т. I—1934 г., т. II—1939 г.) и предлагаемая вниманию читателя более современная книга Клини «Введение в метаматематику» 1952 г.). Сам русскоязычный перевод данной монографии появился в 1957 году.
У меня есть намерение сделать разбор основных моментов каждого параграфа этой монографии на отдельных видеочатах в режиме онлайн, где вы могли бы задавать вопросы и озвучивать свои комментарии к прочитанному и услышанному. Начнем завтра в 20.00 мск, и давайте договоримся, что первые минуты «стрима» потратим на отладку технических моментов обратной связи.
Кто поддерживает, прошу ставить 👍 или дарить каналу "звезды".

Вот, скажем, первый момент.

Например, Есенин–Вольпин пишет: «От читателя не требуется никаких предварительных познаний в логике или математике. Однако подробное проведение всех опущенных автором деталей доказательств требует некоторой тренировки (которую, впрочем, можно приобрести в процессе тщательного изучения этой книги). Таким образом, книгу можно рекомендовать и начинающему—при условии, что он не боится трудностей».

Тогда как сам Клини замечает: «Книга написана с таким расчетом, чтобы она могла служить учебником для аспирантов-математиков первого года обучения1) (и старше) и для других лиц, достигших этого уровня владения математикой, независимо от их познаний в том или ином разделе математики» («The book is written to be usable as a text book by first year graduate students in mathematics (and above) and others at that level of mathematical facility, irrespective of their knowledge of any particular mathematical subject matter»).

Ок, в 20.00 начинаем...

Человек может быть представлен как машина Тьюринга, для которой внешний алфавит (содержание чувственного восприятия), записанный на бесконечной ленте, может рассматриваться и как внутренний - перечень команд, предназначенных для выполнения. Особенность человека, однако, состоит в том, что он может (в отличие от машины) воздержаться от действия (в этом - его свобода) а также выбрать какое-либо действие из некоторых возможных (способность, называемая интеллектом).

Такое представление позволяет рассматривать естественный язык как систему счисления, а тексты, построенные на этом языке как исчисление со специфическими правилами образования и преобразования (грамматикой и орфографией).

Предметные константы (Individual symbols [eng. Kleene, 1952]; Individuensymbol [deu. D. Hilbert und P. Bernays, 1934]), или индивидуальные (индивидные) символы – собственные (обязательно уникальные (!)) имена отдельных (обязательно вполне (!) отличимых друг от друга) объектов (предметов) рассматриваемой предметной области. Для их записи будем использовать малые буквы латинского алфавита с числовым индексом в правом нижнем углу, когда предметных областей будет несколько будем в правом верхнем углу указывать числовой индекс обозначающий соответствующую предметную область:

Предметные константы мы также будем рассматривать как значения предметных переменных, это означает, что вместо предметной переменной в значимое выражение (терм или формулу) может быть подставлена любая предметная константа. В результате такой подстановки в формулу мы можем получить формы истинных или ложных высказываний или формы формул с меньшим количеством предметных переменных – так называемых высказывательных форм, а в терм – собственное имя предмета (возможно, присутствующего, а возможно – и нет) в рассматриваемой предметной области.

Предметные константы в арифметике с операциями "следующий за (')", "сложение (+)", "умножение (•)" - это натуральные числа (начинающиеся с нуля), записанные в некоторой системе счисления. Каждое натуральное число вполне отличимо от любых других, но каждое число имеет бесконечно много уникальных собственных имен (совокупность таких уникальных собственных имен составляет то, что в теории множеств называется классом эквивалентностей).
Например:
0'=1; 0''=2=1+1; 0'''=3=2+1=1+2=1+1+1
и так далее.

Предметные переменные - знаки, которые используются для представления (обозначения) предметов (объектов) рассматриваемой предметной области в формулах, содержащих предикаты. Для их записи будем использовать малые буквы естественного языка (обычно латинского) обязательно без (!) числовых индексов в правом нижнем углу (поскольку так мы обозначаем предметные константы). Для того, чтобы выразить различия предметных областей будем ставить числовой индекс в правом верхнем (!) углу.
Обратим внимание, что последовательность строчных букв естественного языка (слово) также будет рассматриваться как предметная переменная: например, последовательность букв стол будет предметной переменной, вместо которой в значимое выражение могут быть поставлены предметные константы - собственные имена единичных (уникальных) столов.

#Тезаурус
Следуя Аристотелю, мы строим науку о доказательстве, или доказывающую науку. Доказательство – это правильно построенное рассуждение (умозаключение), и наоборот, Всякое правильно построенное умозаключение есть доказательство.
Вообще, рассуждение (умозаключение) – это последовательность выражений, в которой от некоторых исходных выражений (называемых посылками, допущениями, гипотезами) осуществляется переход к завершающему выражению (заключению, следствию). Если значимые выражения вышеуказанной последовательности обозначают только самих себя (используются автонимно), то такое рассуждение будем называть формальным, если обозначают какие-либо другие предметы – то содержательным.
Логикой будем называть раздел науки о доказательстве, в котором изучается правильность построения содержательных умозаключений.

#Тезаурус
Содержательное умозаключение – это последовательность высказываний, в которой от одного или нескольких исходных высказываний (посылок) осуществляется переход (вывод) к другому высказыванию (заключению). Способ связи высказываний в составе умозаключения или также способ связи понятий внутри посылок и заключения называется формой умозаключения.
Правильно построенным считается только то рассуждение, которое имеет правильную форму.
Форма содержательного умозаключения считается правильной тогда и только тогда, когда не существует такой предметной области (включая воображаемые), на которой каждая посылка была бы истинной (соответствовала бы положению дел в рассматриваемой предметной области), а заключение – было бы ложным (не соответствовало бы данному положению дел). Истина и Ложь – это значения высказываний.