Одна из очевидных целей теории доказательств – дать формальное определение понятиям «доказательство» и «выводимость» с тем, чтобы опираясь на них, тщательнейшим образом изучить свойства неформальных (содержательных) теорий. К таким свойствам с конца 19 века стали относить непротиворечивость – отсутствие возможности одновременного доказательства некоторого высказывания и его отрицания, полноту – возможность доказательства всех теорем или выражений истинных в любых содержательных моделях предметных областей – моделей, независимость исходных положений (аксиом) друг от друга (невыводимость друг из друга) и другие. Если в рамках теории мы располагаем процедурой, позволяющей однозначно решить вопрос о каком-либо свойстве какого-либо значимого выражения, то такой вопрос считается разрешимым, а процедура – разрешающей процедурой.

#ИсчислениеПредикатов
Знакомство с символизмом исчисления предикатов осуществим на примере описания одной несложной игры, её правил и алгоритма достижения в этой игре победы.

Предметная область, о которой мы рассуждаем, строим теорию или, как в данном случае, которая выступает моделью интерпретации наших значимых выражений, включает объекты, их свойства и отношения, и обозначается буквой U, от "Универсум рассуждения".

В нашем случае объекты универсума рассуждения - это 24 клетки игрового поля и две различных тройки фигур, т.е. всего 30 объектов (30=24+3+3):

Этот факт об объектах нашей предметной области в исчислении высказываний при соотношении с исчислением предикатов запишем так:

В теоретико-множественном символизме:

При вышеуказанном условии, для рассмотрения алгоритма работы программы - машины Тьюринга, реализующей игровой процесс при поступлении тех или иных данных на вход от пользователя-игрока, или зачастую говорят "игрового искусственного интеллекта", более целесообразным (в смысле менее сложным) будет нумерация по вертикали с тем, чтобы считывающее устройство нашей машины за один обход ленты идентифицировало бы собственное состояние. В этом случае случае окажется, что нумерация клеток снизу вверх или, наоборот, сверху вниз (а для машины Тьюринга слева направо или справа налево) не имеет значения.

При идентификации клеток игрового поля по горизонтали для достижения тех же целей нам придется выполнить пару предварительных операций: 1) деление номера клетки по модулю 3 и 2) сравнение остатка с 0, 1 или 2, и уже только затем идентификация с одной из трёх вертикалей и соответствующей пары фигур.

Классификацию простых категорических атрибутивных высказываний и условия их истинности можно посмотреть здесь: #ОбщеУтвердительныеВысказывания #ЧастноУтвердительныеВысказывания #ОбщеОтрицательныеВысказывания #ЧастноОтрицательныеВысказывания

#ЛогическийКвадрат Отношения между простыми категорическими высказываниями по истинности определяются с помощью понятий совместимости и несовместимости по истинности и ложности и обычно изображаются с помощью логического квадрата:

#РазрешимостьВычислимость
Когда мы говорим о разрешимости и вычислимости, то нужно иметь ввиду следующее обстоятельство: задача (проблема, вопрос) может быть неразрешима одним способом, но разрешима другим. В современной метаматематике и эпистемологии утверждается, что существует класс таких задач, которые неразрешимы вообще, в принципе.

Например, когда Клини пишет, что "Проблема трисекции произвольного угла с помощью циркуля и линейки в некотором смысле неразрешима" (МЛ, с.296), то здесь на самом деле не утверждается, что данная задача (построение трисекции угла) неразрешима никаким методом.

Напомним, что абстрактно-идеальное устройство, иллюстрирующее возможности разрешимости задач - это машина Тьюринга. Одна из идей нашего курса, которые требуют осмысления и обсуждения - это изоморфизм процесса ощущения ("отражения" в терминологии В.И. Ленина) и проецирования машиной Тьюринга считываемых с ленты символов так называемого внешнего алфавита в алфавит внутренний (список команд). Мы видим в этом связь логики, метаматематики и философии.

С учётом вышеуказанного изоморфизма ощущения и специфической отражающей деятельности машины Тьюринга окажется, что человек отличается от последней наличием чувств, а машины от человека - возможностью самостоятельного изменения собственных простейших составляющих (это аналогично тому, как если бы человек мог самостоятельно на уровне атомов преобразовывать своё тело).

Второе отличие - человек не может вернуться к некоторому прошедшему состоянию, внести в него изменения и испытать новую череду событий с измененными исходными условиями.