Открытие новых объектов в рассматриваемой прежней теорией предметной области с новыми свойствами и отношениями требует формулировки новых законов для расширенных предметных областей, на которых прежние законы уже перестают действовать: так произошло и с классической механикой Ньютона, частной и затем общей теориями относительности Эйнштейна, и с геометрией Евклида, Лобачевского, Риммана.

Мы полагаем, что некоторые изменения в метаматематических установках гильбертовой и генценовской дедуктивных систем -- а именно формулировки выводов исчисления предикатов с многосортными предметными переменными и дополнение символизма чистого исчисления предикатов предметными константами могли бы позволить вернуться к идее Mathesis Universalis Декарта и Лейбница, а также к логицистской установке Фреге, Рассела и Уайтхеда, и заговорить о новом этапе в развитии логицизма.

Под логицизмом в узком смысле слова будем понимать эпистемологическую установку, согласно которой все содержательные математические теории представляют собой различные интерпретации формальной теории. Логицизм в широком смысле слова -- это установка, согласно которой любая научная, не только математическая, теория представляет собой определенную модель формальной системы, отличающуюся от других содержательных теорий природой объектов рассматриваемой предметной области, их свойств и отношений.

Примером первого подхода являются концепции Фреге, Рассела и Уайтхеда, а примером второго -- идея Mathesis Universalis Декарта и Лейбница. Логицизм в узком смысле слове можно противопоставить формализму Гильберта и Бернайса и интуиционизму Брауэра. Логицизм в широком смысле слова следует отличать от логического позитивизма -- установки, согласно которой логика представляет собой универсальный язык или синтаксис науки, а научная теория -- это та, в которой формальные системы знаков наполняются эмпирическим содержанием.

Если научной будет считаться только та теория, положения которой верифицируемы в опыте -- то такая установка называется неопозитивизмом, пример -- концепции Карнапа, Гемпеля и Куайна, а если только та, положения которой фальсифицируемы в опыте -- то постпозитивизмом: например, критический рационализм Поппера.

Настоящая классификация неопозитивизма и постпозитивизма как видов логического позитивизма отличается от общепринятой и более распространенной в истории и философии науки , согласно которой неопозитивизм и логический позитивизм отождествляются, а постпозитивизм рассматривается особняком (поскольку эпистемологические установки коллег Поппера -- Куна и Фейерабенда в меньшей степени привязаны к логике и логическому формализму, как универсальному языку науки).

Один из моих аргументов в пользу того, что логика является более общей теорией, чем арифметика (теория натуральных чисел), заключается в том, что закон дистрибутивности конъюнкции и дизъюнкции в логике действует в обе стороны, тогда как в арифметике сложения и умножения - только в одну.

Законы дистрибутивности в логике

В арифметике

Дополнительный семинар по решению задач для юристов, а также предъявления тетрадей с заданиями, будет 3.06.24 в 11.30, ауд. 705.

От сопредседателя секции "Теория вычислимости" Международной научной конференции «Алгебра и математическая логика: теория и приложения», проводимой Казанским федеральным университетом, Академией наук Республики Татарстан и Научно образовательный математическим центром Приволжского федерального округа, пришло письмо об отклонении доклада Вашего покорного слуги: "Уважаемый Вячеслав Владимирович! Сообщаем Вам, что тезисы Вашего доклада на тему «О счетности бесконечных множеств» не принимаются к публикации в сборнике тезисов конференции «Алгебра и математическая логика: теория и приложения 2024», а сам доклад не может быть включен в программу ее работы, поскольку сформулированный в его тезисах результат противоречит известным классическим результатам. С уважением, соруководитель секции
М. Файзрахманов".

Итак, #ОСчетностиБесконечныхМножеств. Канторовский диагональный метод сегодня столь прочно разместился в образовательных парадигмах математической логики, теории множеств, теории вычислимости и теории алгоритмов, что его релокация из образовательной в научно-исследовательскую плоскость многими учеными считается моветоном.

С помощью этого метода Кантор доказывает теорему: "Если E1, E2, ... , En, ... -- какая-либо просто бесконечная последовательность элементов многообразия M, то всегда существует такой элемент E0 многообразия M, который не совпадает ни с каким Ei. И доказательство этой теоремы приводит к утверждению о существовании несчетно бесконечных множеств.

Как замечает Клини в "Математической логике'' существование таких множеств могло бы остаться не замеченным в истории науки или замеченным, но вскоре забытым, если бы не те следствия, к которым это утверждение приводит.

Следствиями этого, в частности, являются решения трех проблем Гильберта: 1) неразрешимости континуум-гипотезы в аксиоматической теории множеств Цермело-Френкеля в случае принятия аксиомы выбора; 2) невозможности одновременного доказательства полноты и непротиворечивости формальной арифметики средствами самой формальной арифметической системы; 3) отрицательный ответ на вопрос о наличии универсального способа разрешимости диофантова уравнения в целых рациональных числах.

Давайте присмотримся к нашим действиям в процедуре диагонального метода. Прежде всего отметим, что в начальный момент, до применения диагональной процедуры, наше многообразие M состоит в точности из бесконечных последовательностей E1, E2, ... , En, ... записанных символами m и w. Мы можем поступить даже проще, чем Кантор, и заменить все символы диагональной последовательности на символ «0». Тогда окажется, что бесконечная последовательность E0={0,0,...,0,...} не совпадает ни с каким En, и теорема Кантора верна.

В этом случае, однако, наша логическая интуиция, пожалуй, может возразить, что при замене символов в записи бесконечных последовательностей мы перешли на другую систему счисления и наша процедура не достаточно корректна. Что произойдет, если для записи наших бесконечных многообразий мы выберем унарную или беконечнозначную системы счисления?

И в той, и в другой системах счисления диагональный метод Кантора, очевидно, не будет работать: в первом случае, бесконечные последовательности единиц будут неразличимы друг от друга, а во втором расположение уникального знака в бесконечной последовательности подобных знаков не имеет значения.

Теорема. Всякое бесконечное множество счетно в унарной или бесконечнозначной системах счисления. Несчетно бесконечных множеств не существует.

Доказательство. 1) Если всякая последовательность Eν из набора E1,E2,...,Eν,… записана в унарной системе счисления, то эти последовательности попарно неотличимы друг от друга, а значит такая последовательность Eν единственна, а значит многообразие M счетно.