В современной трактовке мы обращаем внимание на то, что каждая посылка должна быть истинной, а заключение - ложным, только в этом случае мы говорим о неправильности умозаключения (рассуждения).

Обратим внимание на то, что из ложных посылок мы можем вывести как ложное, так и истинное заключение, и подобный вывод может оказаться правильным, как например в умозаключении: "Все слоны - земноводные. Все земноводные - млекопитающие. Следовательно, Все слоны - млекопитающие".

При построении дедуктивных логических теорий мы исходим из того, что в доказательствах в качестве исходных высказываний выступают аксиомы, т.е. формулы, истинные при любой интерпретации.

Студент, не сдавший экзамен по логике, подходит к преподавателю и спрашивает, какие вопросы ему готовить на пересдачу. "Не волнуйтесь, - говорит преподаватель, - вопросы мы не меняли, будут те же самые". Студент сдает ответ на пересдаче, получает 2, и удивленно спрашивает: "Как так, я все правильно написал!" "Нет, - говорит преподаватель, - мы ответы поменяли".

Давайте попробуем представить себе умозаключение, используя свойство слов естественного языка (ближайшим образом, русского) иметь общий корень и несколько значений из разных предметных областей, чтобы это представление прояснить и использовать в дальнейших размышлениях: умозаключение.

Мы говорим, что умозаключение состоит из посылок и заключения. Посылки - это исходные высказывания, иными словами высказывания "включающие", запускающие процесс умозаключения. Кроме того, слово "включение" означает ещё и часть целого, свойство элементов входить во множество, или органов - быть частью организма простейших.

Таким образом, используя этимологию и интуицию естественного языка, мы могли бы сказать, что "умозаключение включает в себя высказывания-включения и заключение".

Если мы рассмотрим "рассуждение" как синоним "умозаключения", то естественно будет сказать, что рассуждение состоит из суждений, между которыми (суждениями), впрочем, мы не обнаружим какой-либо разнцицы.

В этом (втором) году (существования нашего канала) мы попробуем построить систему исчисления высказываний более сильную, чем классическое (гильбертово) исчисление высказываний.

Более сильную означает, что все виды рассуждений, считающиеся правильными в нашей системе, будут правильными и в классической, тогда как обратное не верно: существуют рассуждения, правильные в классическом исчислении высказываний, но не правильные в нашем.

В классической логике высказываний Утверждающий модус (Modus Ponens) - тождественно истинная формула

#ModusPonens
Напомним, что при построении исчисления высказываний в теории доказательств (доказательно-теоретическом построении исчисления высказываний; или дедуктивной логики высказываний, как этот раздел исчисления высказываний называют Гильберт и Бернайс) Modus Ponens оказывается единственным правилом вывода, а его схема обычно изображается, например, так:

Сегодня - ровно год существования нашего канала. С Новым годом! 🎄

Мы, таким образом, сделаем правило вывода более строгим, добавив в посылки условие, что вместо В нельзя подставлять Неверно, что А.

Для иллюстрации нашей концепции правила вывода, не допускающего получения ложного высказывания в теории моделей или противоречия аксиоме в теории доказательств, воспользуемся методом оценок, применяемым Гильбертом и Бернайсом в "Основаниях математики": будем обозначать желаемые значения, аналогичные значению истина, выделенными значениями и обозначать их символом α, аналогичные значению ложь -- символом β, а вместо нежелательного для нас значения истина в том случае, когда вместо B подставлено Неверно, что А, будем писать значение γ.

Тогда таблица истинности в теории моделей примет следующий вид:

в исчислении высказываний с более строгим правилом вывода

Такое более строгое правило вывода позволит реализовать следующие свойства в содержательных теориях: 1) из тождественно истинных выражений правильным считалось бы получение только тождественно истинных выражений; 2) из тождественно ложных -- любых; 3) из нейтральных, истинных в соответствующих предметных областях -- тождественно истинных и истинных в соответствующих областях; 4) из нейтральных, ложных в данной предметной области -- любые, кроме тождественно ложных.