Такой подход, как я рассчитываю, позволит нам при построении исчисления предикатов с многосортными предметными переменными (т.е. логической теории в которой только один тип переменных - предметные переменные) в теории моделей изложить и классическое, и интуиционистское исчисления предикатов первого порядка , и в добавок, "бонусом", представить особым образом миры, модели и шкалы Крипке - одной из самых популярных разновидностей других неклассических (помимо интуиционистской) логик.
Для свойства А из универсума рассуждения X, по которому, как ещё говорят, "пробегает" предметная переменная x, выполняется принцип tertium non datur, а для универсума рассуждения Y - не выполняется, поскольку утверждения об обоих отрицаниях оказываются неверными (ложными). При этом принцип противоречия мы не нарушаем, так как никакому объекту не приписываем и не отрицаем одновременно никаких свойств (в данном примере - свойство А) - на модельной схеме это обстоятельство выражается тем, что не существует точек, символизирующих отдельные объекты, которые располагались бы на окружности А.
Мы отмечаем, что при записи предметной переменной добавление к ней числового индекса в правом нижнем углу образует предметную константу. Индексация предметных констант осуществляется с помощью определенной выбранной системы счисления. Например, мы можем выбрать единичную (унарную) систему счисления, в которой каждый предмет рассматриваемой предметной области будет отличаться от другого при записи своего индивидуального символа количеством единиц в наборе - его уникальном собственном имени (proper name).
Вопрос о возможности выражения уникального собственного имени в формальной системе, где все значимые выражения представляют исключительно самих себя (т.е. используются автонимно), решается таким образом утвердительно и сравнительно несложно. Однако в естественном языке у нас возникают проблемы: либо уникальное собственное имя - это результат соглашения (возможно, молчаливого и не выраженного в утвердительной форме), либо уникальность имени выражает уникальность обозначаемого этим именем предмета вне зависимости от каких-либо соглашений пользователей языка. Один из самых ранних (и лучших) философских текстов по этому вопросу - диалог Платона "Кратил".
Приложение к теории познания (гносеологии). Представим себе, что универсум рассуждения Y на вышеуказанной схеме - это предметная область пяти-мерного мира (в котором 4-ое измерение (4-ая переменная) - это время), где 5-ый параметр - способность, например, зрительного восприятия 4-х мерного объекта в 3-х измерениях пространства. То есть, каждому объекту предметной области X мы сопоставляем 3 пространственных характеристики, которые считаются уникальными для любого объекта чувственно воспринимаемого мира (поскольку два тела не могут одновременно занимать одно и то же место), а 4-ая характеристика - время, т.е. параметр посредством которого фиксируются изменения положения объекта относительно других объектов или изменение его других (не пространственных) признаков.
Приложение к теории знания (эпистемологии) и философии науки. Один из приемов, существенный для понимания постулата общей теории относительности Эйнштейна об эквивалентности как инерциальных, так и неинерциальных систем отсчёта - мысленный эксперимент с наблюдателем в лифте с непрозрачными стенками, равноудаленном от источников гравитационной и электромагнитной сил. Оказывается, что именно такому наблюдателю невозможно определить истинную причину перехода от состояния невесомости к состоянию ощущения массы собственного тела и соприкосновения с одной из стенок лифта (условным "полом"): это равным образом может быть как внезапное возникновение источника тяготения (скажем, появление сверхновой звезды), так и движение в противоположном направлении с ускорением, причиной которого будет внешний по отношению к лифту источник тяги.
Ключевой момент для нашей задачи здесь в невозможности наблюдателя отличить одну систему отсчёта от другой: неинерциальную систему отсчёта, движущуюся с ускорением, от системы отсчёта, переходящую в зону действия поля тяготения. Подобным образом, мы утверждаем невозможность отличить визуальное восприятие без дополнительных ощущений (например, осязания) двухмерных объектов виртуального мира от трёхмерных объектов мира, который мы считаем реальным.
В изобразительном искусстве трёхмерность объектов на двухмерной плоскости передается посредством изображения источника света и тени, отбрасываемой обьектом. Заметим, что отличить тени в двухмерном мире от теней в трехмерном невозможно в принципе (возможно, поэтому им придется особое значение в искусстве и магии).
Итак, если первой особенностью исчисления предикатов с многосортными предметными переменными является ограниченное действие принципа исключённого третьего, так этот принцип будет строго действовать для всех предикатов на тех предметных областях, где они заданы, и не будет действовать на всех остальных, то другой необычной особенностью будет возможность существования различных пустых понятий, так как обозначаемые ими объекты могут существовать на других (возможно различных) предметных областях.
В связи с этим можно утверждать, что и тезис о единственности пустого множества также не будет справедлив для исчисления предикатов с многосортными предметными переменными. Множества, являющиеся пустыми на одних предметных областях, вполне могут оказаться непустыми в других: классический пример из дискуссии Рассела, представителей неопозитивизма, философии языка и аналитической философии - "зелёные единороги" 🦄 (это пустое понятие, с их точки зрения, поскольку единорогов не существует). Наша же теория позволяет рассматривать подобные понятия как не пустые (например, на предметной области мифов и сказок) и, кроме того как отличающиеся друг от друга, так как быть единорогом 🦄 отнюдь не тоже самое, что не быть, ведьмаком.
С точки зрения доминирующей сегодня интерпретации теории множеств, быть Геральтом из Ривии (ведьмаком) это то же самое, что быть Джоном Виком (Бабой Ягой). Кто отличает Генри Кавилла от Киану Ривза ставим 👍, кто нет - ставим 👎
Согласно общепринятой в настоящее время в теории множеств установке пустое множество существует, оно является подмножеством всякого множества и оно единственно, поскольку не существует элементов, отличающих одно пустое множество от другого. Утверждение о "тождестве неразличимых" часто приписывают Лейбницу, когда говорят о его специфической трактовке принципа тождества.
Мы противопоставляем две вышеуказанные позиции обыденного и теоретико-множественного словоупотреблений термина "пустое множество" для того, чтобы подчеркнуть прикладные преимущества, предоставляемые исчислением предикатов с многосортными предметными переменными при анализе рассуждений, выстраиваемых в естественном языке.
Приложения к онтологии. Утверждая возможность существования на каком-либо универсуме рассуждения объекта, представляющего собой пустое понятие на другом, мы закладываем прочный фундамент для формализации идеалистических (в средневековой традиции - реалистических (противостоящих номиналистическим)) теорий, согласно которым существование умопостигаемых сущностей, выступающих образцами объектов чувственно воспринимаемого мира, т.е. идей, реально.
Приложение к истории философии. Согласно Гегелевской установке, многократно прописанной и в "Науке логики", и в "Энциклопедии философских наук" и максимально подробно сформулированной в "Лекциях по истории философии" - каждое исторически выступавшее философское учение реализует в качестве своего принципа одну из категорий Логики, а все вместе взятые философские учения - Логику в целом. При этом отдельные философские учения, например, Платона или Аристотеля, воплощают не отдельно взятую категорию Логики, а её некоторый раздел, включающий взаимосвязанную последовательность категорий, тогда как Логика, как раздел системы абсолютного знания самого Гегеля - всю Логику в целом.
Логика одноместных предикатов (силлогистика). #Энтимемы Энтимемой называется простой категорический силлогизм, в котором пропущена одна из посылок или заключение. Энтимема считается правильной, тогда и только тогда, когда она построена по правильному модусу (разновидности) простого категорического силлогизма. Например, Все греки - люди. Следовательно, Сократ - человек. (Пропущена посылка Сократ - грек).
#Полиссиллогизм Полисиллогизмом называется умозаключение, в котором заключение одного простого категорического силлогизма становится посылкой другого. Если заключение становится бОльшей посылкой, то полисиллогизм называется прогрессивным, если меньшей - то регрессивным.
#ТеорияДоказательств Применение методов таблиц истинности в модельно-теоретическом построении исчисления высказываний предполагает наличие интерпретаций (моделей) высказываний на некоторой предметной области - это выражается принципами противоречия и исключённого третьего в двузначных логических теориях.
Мы исходим при этом из того, что моделью (интерпретацией) логической теории служит некоторая другая научная теория. В этом смысле говорят, что эта другая научная теория составляет содержание логической теории, которая поэтому рассматривается как её форма.
Мы исходим при этом из того, что моделью (интерпретацией) логической теории служит некоторая другая научная теория. В этом смысле говорят, что эта другая научная теория составляет содержание логической теории, которая поэтому рассматривается как её форма.
Если описывать взаимодействие логической и содержательной теорий в терминах теорий языков, как систем знаков, то можно сказать, что модельно-теоретическое построение логической теории представляет собой семантический аспект изучения её языка. Тогда синтаксический аспект будет состоять в том, что мы ограничимся изучением её: 1) алфавита - набора простейших значимых в данном языке символов, 2) правил образования из этих элементарных выражений их последовательностей, а также 3) правил преобразования одних последовательностей значимых выражений в другие. Такой, как иногда говорят, синтаксический формат представления логической теории ещё называется доказательно-теоретическим, или построением логической теории в теории доказательств.