Приложение к теории знания (эпистемологии) и философии науки. Один из приемов, существенный для понимания постулата общей теории относительности Эйнштейна об эквивалентности как инерциальных, так и неинерциальных систем отсчёта - мысленный эксперимент с наблюдателем в лифте с непрозрачными стенками, равноудаленном от источников гравитационной и электромагнитной сил. Оказывается, что именно такому наблюдателю невозможно определить истинную причину перехода от состояния невесомости к состоянию ощущения массы собственного тела и соприкосновения с одной из стенок лифта (условным "полом"): это равным образом может быть как внезапное возникновение источника тяготения (скажем, появление сверхновой звезды), так и движение в противоположном направлении с ускорением, причиной которого будет внешний по отношению к лифту источник тяги.

Ключевой момент для нашей задачи здесь в невозможности наблюдателя отличить одну систему отсчёта от другой: неинерциальную систему отсчёта, движущуюся с ускорением, от системы отсчёта, переходящую в зону действия поля тяготения. Подобным образом, мы утверждаем невозможность отличить визуальное восприятие без дополнительных ощущений (например, осязания) двухмерных объектов виртуального мира от трёхмерных объектов мира, который мы считаем реальным.

В изобразительном искусстве трёхмерность объектов на двухмерной плоскости передается посредством изображения источника света и тени, отбрасываемой обьектом. Заметим, что отличить тени в двухмерном мире от теней в трехмерном невозможно в принципе (возможно, поэтому им придется особое значение в искусстве и магии).

Итак, если первой особенностью исчисления предикатов с многосортными предметными переменными является ограниченное действие принципа исключённого третьего, так этот принцип будет строго действовать для всех предикатов на тех предметных областях, где они заданы, и не будет действовать на всех остальных, то другой необычной особенностью будет возможность существования различных пустых понятий, так как обозначаемые ими объекты могут существовать на других (возможно различных) предметных областях.

В связи с этим можно утверждать, что и тезис о единственности пустого множества также не будет справедлив для исчисления предикатов с многосортными предметными переменными. Множества, являющиеся пустыми на одних предметных областях, вполне могут оказаться непустыми в других: классический пример из дискуссии Рассела, представителей неопозитивизма, философии языка и аналитической философии - "зелёные единороги" 🦄 (это пустое понятие, с их точки зрения, поскольку единорогов не существует). Наша же теория позволяет рассматривать подобные понятия как не пустые (например, на предметной области мифов и сказок) и, кроме того как отличающиеся друг от друга, так как быть единорогом 🦄 отнюдь не тоже самое, что не быть, ведьмаком.

С точки зрения доминирующей сегодня интерпретации теории множеств, быть Геральтом из Ривии (ведьмаком) это то же самое, что быть Джоном Виком (Бабой Ягой). Кто отличает Генри Кавилла от Киану Ривза ставим 👍, кто нет - ставим 👎

Согласно общепринятой в настоящее время в теории множеств установке пустое множество существует, оно является подмножеством всякого множества и оно единственно, поскольку не существует элементов, отличающих одно пустое множество от другого. Утверждение о "тождестве неразличимых" часто приписывают Лейбницу, когда говорят о его специфической трактовке принципа тождества.

Мы противопоставляем две вышеуказанные позиции обыденного и теоретико-множественного словоупотреблений термина "пустое множество" для того, чтобы подчеркнуть прикладные преимущества, предоставляемые исчислением предикатов с многосортными предметными переменными при анализе рассуждений, выстраиваемых в естественном языке.

Приложения к онтологии. Утверждая возможность существования на каком-либо универсуме рассуждения объекта, представляющего собой пустое понятие на другом, мы закладываем прочный фундамент для формализации идеалистических (в средневековой традиции - реалистических (противостоящих номиналистическим)) теорий, согласно которым существование умопостигаемых сущностей, выступающих образцами объектов чувственно воспринимаемого мира, т.е. идей, реально.

Приложение к истории философии. Согласно Гегелевской установке, многократно прописанной и в "Науке логики", и в "Энциклопедии философских наук" и максимально подробно сформулированной в "Лекциях по истории философии" - каждое исторически выступавшее философское учение реализует в качестве своего принципа одну из категорий Логики, а все вместе взятые философские учения - Логику в целом. При этом отдельные философские учения, например, Платона или Аристотеля, воплощают не отдельно взятую категорию Логики, а её некоторый раздел, включающий взаимосвязанную последовательность категорий, тогда как Логика, как раздел системы абсолютного знания самого Гегеля - всю Логику в целом.

Логика одноместных предикатов (силлогистика). #Энтимемы Энтимемой называется простой категорический силлогизм, в котором пропущена одна из посылок или заключение. Энтимема считается правильной, тогда и только тогда, когда она построена по правильному модусу (разновидности) простого категорического силлогизма. Например, Все греки - люди. Следовательно, Сократ - человек. (Пропущена посылка Сократ - грек).

#Полиссиллогизм Полисиллогизмом называется умозаключение, в котором заключение одного простого категорического силлогизма становится посылкой другого. Если заключение становится бОльшей посылкой, то полисиллогизм называется прогрессивным, если меньшей - то регрессивным.

#ТеорияДоказательств Применение методов таблиц истинности в модельно-теоретическом построении исчисления высказываний предполагает наличие интерпретаций (моделей) высказываний на некоторой предметной области - это выражается принципами противоречия и исключённого третьего в двузначных логических теориях.
Мы исходим при этом из того, что моделью (интерпретацией) логической теории служит некоторая другая научная теория. В этом смысле говорят, что эта другая научная теория составляет содержание логической теории, которая поэтому рассматривается как её форма.

Если описывать взаимодействие логической и содержательной теорий в терминах теорий языков, как систем знаков, то можно сказать, что модельно-теоретическое построение логической теории представляет собой семантический аспект изучения её языка. Тогда синтаксический аспект будет состоять в том, что мы ограничимся изучением её: 1) алфавита - набора простейших значимых в данном языке символов, 2) правил образования из этих элементарных выражений их последовательностей, а также 3) правил преобразования одних последовательностей значимых выражений в другие. Такой, как иногда говорят, синтаксический формат представления логической теории ещё называется доказательно-теоретическим, или построением логической теории в теории доказательств.

Как пишут Гильберт и Бернайс в "Основаниях математики", нам бы хотелось построить логическую теорию таким образом, чтобы исключительно по внешнему виду выражения без обращения к его интерпретациям определять, является ли оно формой правильного рассуждения или нет.

И действительно, в исчислении высказываний в теории моделей мы обнаруживаем, что совершенная дизъюнктивная форма формулы, которая содержит 2 в степени n (где n - количество пропозициональных букв) попарно различных элементарных конъюнкций, выражает форму правильного рассуждения (в теории моделей представленную тождественно истинной формулой).

Разнообразие методов. Подобно любой другой научной дисциплине логика обладает набором собственных, специфичных только для неё методов. В элементарной логике высказываний (теории истинностных функций), или построении исчисления высказываний в теории моделей мы используем метод таблиц истинности, несомненным преимуществом которого является наглядность его представления полноты и попарной различенности допустимых интерпретаций. Как совершенно справедливо замечает Клини, этим методом нужно пользоваться без колебаний, когда возникают сомнения в правильности других решений.

Задачу сведения формул к совершенным дизъюнктивным и конъюнктивным нормальным формам можно считать общей для элементарной логики высказываний и алгебры высказываний (Булевой алгебры). Однако, если в первой построение СДНФ или СКНФ завершает предшествующее построение таблицы истинности, то во второй оно выступает результатом метода эквивалентных преобразований.

Задача определения вида формулы (тождественно истинной, тождественно ложной или нейтральной в теории моделей и теоремы (не-теоремы) в теории доказательств) по её форме является общей, в свою очередь, для алгебры высказываний и для дедуктивной логики высказываний (исчисления высказываний в теории доказательств). В теории доказательств теорема - это последняя формула в последовательности формул, каждая из которых является аксиомой или формулой, полученной из двух предыдущих по правилу вывода Modus Ponens (в исчислении высказываний).

До следующего уровня нашего канала (и новых возможностей) осталось всего 2 голоса! Поддержим, у кого есть такая возможность: https://www.tgoop.com/boost/logic_metamathematics (Особое Спасибо Анфисе, которая уже отдала свой голос за наш канал!)