#ИсчислениеПредикатов
Начнём Исчисление предикатов. Необходимость построения этой логической теории состоит в том, что существуют рассуждения, правильность которых не вызывает сомнений, но эта правильность не может быть доказана средствами исчисления высказываний такими, как таблицы истинности, совершенные дизъюнктивные нормальные формы или формальные доказательства.
Если заменить заимствованное из латинского слово "предикат", то Исчисление предикатов можно было бы назвать Исчислением высказываний, учитывающим способ связи понятий, из которых эти высказывания состоят.

Использование прописной буквы в названии этой теории привходящим образом обращает наше внимание на следующую особенность: некоторые понятия, рассматриваемые нами, будут собственными именами обозначаемых ими предметов. Для записи (символического обозначения) таких понятий мы будем использовать предметные константы.

Например, умозаключения: "Все студенты - учащиеся. Следовательно, Некоторые учащиеся - студенты" и "Все люди - смертны. Сократ - человек. Следовательно, Сократ - смертен" являются правильными, но их правильность подтверждается только в том случае, когда мы учитываем отношения между понятиями, выступающими в роли субъектов и предикатов их посылок и заключений. Если формы этих умозаключений записать в виде формул исчисления высказываний, то эти формулы окажутся нейтральными (напомним, что если форма умозаключения выражается тождественно истинной формулой исчисления высказываний, то такая форма является правильной).

В философии, когда мы устанавливаем связь категорий (под которыми обычно понимают предельно общие понятия теории), как это происходит в диалогах Платона, сочинениях Аристотеля, трансцендентальной логике Канта или "Науке логике" Гегеля, они выражаются единичными понятиями - а для их записи мы используем предметные константы. Когда же мы с помощью категорий описываем свойства или отношения объектов рассматриваемой предметной области, то мы пользуемся ими как предикатами, т.е. выражениями, обозначающими признаки (свойства и отношения) данных предметов.

Поиск по хештегу в мобильной версии канала:

Заходим в Закрепленное сообщение

Выбираем вкладку "Этот чат" (!):

Просматриваем версии искомого сообщения:

В компьютерной версии канала вкладка Этот чат открывается сразу:

У кого получилось, ставим 👍 😁

Условия истинности простых категорических высказываний и соответствующие круговые схемы Эйлера

О преимуществах выразительных возможностей естественного языка в сравнении с математическим формализмом.
Вне контекста рассуждения или предварительных соглашений цифровая запись чисел не позволяет однозначно судить о том, используются ли эти числа как количественные или порядковые числительные. Это имеет особое значение, например, в теории множеств, когда нам требуется различать символ, обозначающий количество элементов, входящих в данное множество, и символ, обозначающий порядковый номер элемента при пересчёте. Поэтому вводится такое понятие как мощность множества - количество (выражаемое количественным числительным) элементов, его составляющих. Мощность счётных бесконечных множеств обозначается буквой алеф еврейского алфавита. Если мощность счётного бесконечного множества мы представим как порядковое числительное, то добавление единицы (как при обычном пересчёте) не принесет желаемого результата: и бесконечное множество мощности алеф, и бесконечное множество мощности алеф плюс один ставятся во взаимно однозначное соответствие.

Так, теорема Кантора утверждает, что какова бы ни была исходная совокупность E бесконечных многообразий характеристик (например, m или w) E1, E2, ..., Eμ, ..., всегда найдется такое многообразие E0, каждая характеристика которой получена заменой исходной на противоположную по следующему правилу: из первой бесконечной последовательности (Е1) берётся первая характеристика, из второй (Е2) - вторая, из третьей (Е3) - третья и т.д., которая отсутствует в исходной совокупности E.

Каждое из исходных многообразий Е1, Е2, ..., Еμ, ... обладает мощностью алеф и находится во взаимно однозначном соответствии с любым другим из этой бесконечной совокупности и самой бесконечной совокупностью Е. Здесь алеф - количественное числительное, а порядковые номера каждого бесконечного многообразия Е, соответственно, порядковые числительные.

При формулировки теоремы мы используем следующий приём: вместе с Кантором мы показываем тот способ (метод), пользуясь которым можем получить интересующий нас объект - в данном случае бесконечное многообразие Е0, которое не содержится (по Кантору) в исходной совокупности. Определения, в которых указывается способ, которым можно получить определяемый предмет, называются операциональными. Требование вместе с предметом указывать способ, которым его можно получить, является ключевым для интуиционисткой и конструктивистской логики и математики.

С эпистемологической (эпистемология (греческий) - теория знания, наука о знании) точки зрения решение определенного класса задач определенным методом является свидетельством научности данного решения - эту мысль, в частности, развивает Томас Кун в работе "Структура научных революций" (1961). То есть, для того, чтобы считаться учёными, мы должны уметь решать задачи некоторого образца общераспространенными и общепризнанными на данный момент времени способами. Иными словами, для того, чтобы считаться сведующими в области теории множеств, математической логики и логики вообще, мы должны быть знакомы и уметь применять канторовский диагональный метод.

Метод Кантора называется диагональным, поскольку при наглядном изображении бесконечных многообразий Е1 Е2, ..., Еμ, ... каждая из которых записывается отдельной строкой, возникает впечатление, что мы проводим диагональ из верхнего левого угла страницы к нижнему правому. Визуально каждая строка, представляющая какое-либо бесконечное многообразие характеристик m или w, оканчивается многоточием, символизирующем соглашение о том, что мы считаем эту последовательность символов m или w бесконечной.

Е1: m, m, m, m, m, m, m, m, ...
E2: w, m, m, m, m, m, m, m, ...
E3: w, w, m, m, m, m, m, m, ...
... ... ...
Eμ: w, m, w, m, w, m, ..., m, ...
... ... ...

Кантор утверждает (и сегодня это утверждение считается общепризнанным), что повсеместная замена характеристик m и w по всей длине диагонали на их противоположности

Е1': w, m, m, m, m, m, m, m, ...
E2': w, w, m, m, m, m, m, m, ...
E3': w, w, w, m, m, m, m, m, ...
... ... ...
Eμ': w, m, w, m, w, m, ..., w, ...
... ... ...

создаёт бесконечно много бесконечных многообразий Е1', Е2', ..., Еμ', ..., которых НЕ БЫЛО в исходной совокупности Е.