#Тезаурус
Формальное рассуждение считается правильным тогда и только тогда, когда его заключительное (возможно, единственное) правильно построенное выражение (формула), является аксиомой или правильно построенным выражением (формулой), полученным из одного или двух предыдущих по специально оговоренному правилу вывода.
Высказывание – это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается о чем-либо (какой-либо признак приписывается либо не приписывается какому-либо предмету), и которое может быть оценено как соответствующее или не соответствующее положению дел в какой-либо предметной области. Высказывания первого вида называются истинными (имеют значение Истина), а второго – ложными (имеют значение Ложь). Если какое-либо высказывание состоит из других высказываний, то оно называется сложным, в противном случае – простым.

Небезынтересная задача на исчисление предикатов второго порядка (где кванторами связываются не только предметные переменные, но и свойства предметов).

5 фигура отличается от других своим размером - площадью, она меньше других фигур, для того, чтобы это заметить требуется зрение, поэтому 5 фигура отличается от других чувственно воспринимаемым свойством.

4 фигура отличается от других своим цветом - она зелёная, тогда как другие - красные. Это означает, 4 фигура отличается от других чувственно воспринимаемым свойством.

Поскольку каждая фигура занимает уникальное место (никакие две фигуры НЕ находятся на одном и том же месте), постольку всякая фигура отличается от других свойством местоположения.

3 фигура отличается от других своей формой - это круг в отличие от квадратов, и это свойство также чувственно воспринимаемое.

2 фигура отличается от других отсутствием контура - также чувственно воспринимаемое свойством.

Таким образом, моя версия такова: 1 фигура отличается от всех остальных наличием умопостигаемого (чувственно не воспринимаемого) свойства - ни размер, ни цвет, ни контур, ни форма её НЕ отличают её от других фигур. Чтобы заметить это существенное отличие - требуется мышление, соотносящее все свойства между собой.
Как замечает Аристотель: "Мышление, ближайшим образом, это то, что отличает белое от сладкого".

#Тезаурус
Высказывание – повествовательное (не побудительное и не вопросительное) предложение, которое при соотнесении с некоторой предметной областью может быть однозначно определено как соответствующее или не соответствующее положению дел в этой предметной области.
Если признак, т.е. свойство или отношение, приписываемый (отрицаемый) в высказывании предмету, в действительности у него есть (соответственно, отсутствует), то такие высказывания называются истинными, в противном случае – ложными. Истина и Ложь – это значения высказываний. Значение Истина обычно записывается знаками: «И», «и», «T», «t», «1»; значение Ложь – «Л», «л», «F», «f», «0».

#Тезаурус
Слово (словосочетание или сложноподчиненное предложение), обозначающее предмет, о свойстве которого говорится в высказывании, или предметы, если речь идет об отношениях, называется субъектом (логическим субъектом) высказывания. Слово (словосочетание или сложноподчиненное предложение), обозначающее свойство предмета или отношение предметов в высказывании, называется предикатом. Взятые по отдельности, вне связи друг с другом в высказывании, субъект и предикат представляют собой понятия. Связь субъекта и предиката в высказывании осуществляется посредством связки. Связки бывают двух видов: утвердительные («есть») и отрицательные («не есть»). В русском языке, в отличие, например, от английского и немецкого, глагол связка «есть» в большинстве предложений опускается.

#Тезаурус
Нормальная форма формулы (для исчисления высказываний) – это формула, в которой нет никаких других пропозициональных связок (логических союзов), кроме отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, а отрицания, кроме того, располагаются только перед пропозициональными буквами (элементарными формулами).
Нормальная форма формулы называется дизъюнктивной, если она представляет собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций, и, вместе с тем, нормальная форма формулы называется конъюнктивной, если она представляет собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций.
Дизъюнктивная (конъюнктивная) нормальная форма называется совершенной, если ее каждая элементарная конъюнкция (дизъюнкция) содержит каждую пропозициональную букву данной формулы с отрицанием либо без.

#ЛогическиеЗадачи
Приходит время каникул, и можно отвлечься от образовательных задач для того, чтобы отдохнуть, решая логические головоломки. Логические задачи на выяснение вопроса: «Кто есть кто?» Предметная область данных задач - персонажи, отвечающие на вопросы Главного Героя (решающего задачу) или сообщающие информацию о предметной области. Причем ответы должны быть односложными (строго да либо нет), а сообщения - высказываниями. Каждому из объектов рассматриваемой предметной области присваивается собственное имя: А, Б, В и так далее.

Каждый из персонажей имеет одно из свойств: 1) отвечая на любые вопросы всегда говорить только правду, т.е. произносить только истинные высказывания – людей, имеющих это свойство обычно называют рыцарями; 2) отвечая на любые вопросы всегда лгать, т.е. произносить только ложные высказывания – людей, имеющих это свойство обычно называют лжецами; 3) отвечая на любые вопросы иногда говорить правду, а иногда лгать – таких персонажей обычно называют нормальными людьми.

#ЛогическиеЗадачи
Будем говорить, что задача имеет решение, если существует единственное приписывание значений высказываниям, содержащимся в условии, которое не противоречит самим условиям; задача не имеет решения, если при приписывании любых значений высказываниям из условия задачи (при любой интерпретации) получается противоречие с условиями задачи.
Задача считается неправильно построенной, если существует два или более двух вариантов приписывания истинностных значений высказываниям персонажей, при которых выполняются все условия задачи.

Доказуемость и выводимость
В формальной системе (или в формальной теории) доказательство - это непустая последовательность формул, каждая из которых является аксиомой или формулой полученной из одной или двух предыдущих по какому-нибудь правилу вывода. Последняя формула в доказательстве называется доказанной формулой или теоремой. Вывод от доказательства отличается тем, что его исходные формулы - посылки не обязательно должны быть аксиомами или теоремами, иначе понятие доказательства совпадёт с понятием выводимости.

Формальные теории (исчисление высказываний, исчисление предикатов и формальную арифметику) будем считать полными, если всякая общезначимая формула в них является теоремой, и наоборот, всякая теорема является общезначимой формулой (т.е. тождественно истинной формулой на любой предметной области).

Например, выводя формулу В из формул А и Если А, то В по модусу поненс (Modus Ponens), т.е. по единственному правилу вывода для исчисления высказываний, мы получаем её как результат вывода, но формула В сама по себе вовсе не обязательно будет теоремой исчисления высказываний.
Иными словами, формула В окажется выводимой в исчислении высказываний, но не будет считаться доказуемой, или теоремой.

В вышеуказанном случае формула В может оказаться и теоремой, но тогда и только тогда, когда формулы А и Если А, то В тоже окажутся теоремами.

Это означает, что для исчисления высказываний и для исчисления предикатов (но, пожалуй, не для формальной арифметической системы) существуют такие формулы (пропозициональные буквы, отрицания пропозициональных букв, предикатные буквы с приданными предметными константами и без свободных переменных), которые не являются ни доказуемыми, ни противоречивыми.