MatlabTips

🔵فضای لگاریتمی (قسمت دوم)🔵

در قسمت قبلی در مورد رابطه ی لگاریتم و اعداد اول گفتیم: اینکه اعداداول کدها (یا آجر های ساختمان اعداد هستند) و هر عدد را می توان به صورت یه بردار از توان ها اعداد اول تعریف کرد. گفتیم که تابع لگاریتم همین کار را برای اعداد غیر صحیح هم می کند اما چگونه؟ فرض کنید یک عدد گویا به شکل ۱۳۵/۳۰ داریم. اگر صورت و مخرج را به صورت تجزیه اعداد اول بنویسم آنگاه فقط باید توان ها را از هم کم کنیم. این دقیقا مانند کم کردن دو بردار است! اینجا اعداد منفی در توان ها ظاهر می شود:

135 = 2^0 * 3^3 * 5^1
30 = 2^1 * 3^1 * 5^1

که می شود:
(0, 3, 1) - (1, 1, 1)= (-1, 2, 0)

که معادل با عدد
2^-1 * 3^2
است. این ویژگی امکان می دهد نسبت هر دو عدد صحیح را به صورت یک بردار با اعداد منفی در بیاوریم. اما برای اعداد غیر گویا چه؟ تعریف عدد غیر گویا مشخصا منکر نسبت دو عدد صحیح است اما بر اساس «قضیه تخمین دیریکله» (dirichlet approximation theorem) می توانیم هر عدد حقیقی را با دقت دلخواه اندازه بگیریم. تنها تفاوت اینجاست که اینجا دیگر یک بردار محدود نداریم: دنباله ی اعدادی که در بردار بالا ظاهر می شود تمام نمی شود. آنگاه تخمین زدن آن عدد حقیقی نیازمند دنباله ای از نسبت هایی است که اعداد اول بزرگتر و بزرگتر در آن ظاهر می شود! به عبارتی فرآیند دقیق تر کردن «کد» یا عدد حقیقی مورد نظر از طریق یافتن اعداد اول بزرگتر است. با این حال اصلا چرا ما باید فرض کنیم که به دنبال اعداد غیر گویا هستیم جز اینکه در توابع loss ظاهر می شوند؟ چه چیزی در مورد رابطه ی اعداد گویا و غیر گویا در سیستم های ساده و پیچیده به ما در مورد آنها می گوید؟

برای درک این موضوع باید یک میانبر عجیب به نجوم بزنیم: یکی از دریافت های اولیه نجومی حرکت منظم سیارات به دور خورشید است. به این معنا که هر سیاره ای با یک نسبت مشخص با بقیه در حال حرکت است. زمین هر ۳۶۵ روز (تقریبا) به دور خورشید می چرخد در حالی که ماه حدودا ۳۰ روز طول می کشد که به دور زمین بچرخد و الخ! با این حال این اعداد معمولا دقیق نیستند با این خاطر که حرکت زمین به دور خورشید به طور کامل تناوبی (periodic) نیست بلکه شبه تناوبی (qusiperiodic) هستند به این معنا که حرکت آن ها دقیقا به نقطه ی اول بر نمیگردد بلکه کمی جابجاست! اما چرا باید چنین باشد. برای فهم این موضوع باید به حرکت زمین دقت کنید: زمین نه تنها تحت تاثیر جرم خورشید است بلکه با یک تناوب به دور دومین جرم عظیم منظومه ی خورشید ما یعنی مشتری هم میچرخد. نتیجه ی این دو تناوب حرکت نه بر روی یک دایره بلکه یک دونات شکل (در ریاضی به آن تورس torus) می گوییم و به صورت زیر است

www.tgoop.com/matlabtips/1744

213 viewsedited  Sep 20 at 03:58

🔵فضای لگاریتمی (قسمت دوم)🔵

در قسمت قبلی در مورد رابطه ی لگاریتم و اعداد اول گفتیم: اینکه اعداداول کدها (یا آجر های ساختمان اعداد هستند) و هر عدد را می توان به صورت یه بردار از توان ها اعداد اول تعریف کرد. گفتیم که تابع لگاریتم همین کار را برای اعداد غیر صحیح هم می کند اما چگونه؟ فرض کنید یک عدد گویا به شکل ۱۳۵/۳۰ داریم. اگر صورت و مخرج را به صورت تجزیه اعداد اول بنویسم آنگاه فقط باید توان ها را از هم کم کنیم. این دقیقا مانند کم کردن دو بردار است! اینجا اعداد منفی در توان ها ظاهر می شود:

135 = 2^0 * 3^3 * 5^1
30 = 2^1 * 3^1 * 5^1

که می شود:
(0, 3, 1) - (1, 1, 1)= (-1, 2, 0)

که معادل با عدد
2^-1 * 3^2
است. این ویژگی امکان می دهد نسبت هر دو عدد صحیح را به صورت یک بردار با اعداد منفی در بیاوریم. اما برای اعداد غیر گویا چه؟ تعریف عدد غیر گویا مشخصا منکر نسبت دو عدد صحیح است اما بر اساس «قضیه تخمین دیریکله» (dirichlet approximation theorem) می توانیم هر عدد حقیقی را با دقت دلخواه اندازه بگیریم. تنها تفاوت اینجاست که اینجا دیگر یک بردار محدود نداریم: دنباله ی اعدادی که در بردار بالا ظاهر می شود تمام نمی شود. آنگاه تخمین زدن آن عدد حقیقی نیازمند دنباله ای از نسبت هایی است که اعداد اول بزرگتر و بزرگتر در آن ظاهر می شود! به عبارتی فرآیند دقیق تر کردن «کد» یا عدد حقیقی مورد نظر از طریق یافتن اعداد اول بزرگتر است. با این حال اصلا چرا ما باید فرض کنیم که به دنبال اعداد غیر گویا هستیم جز اینکه در توابع loss ظاهر می شوند؟ چه چیزی در مورد رابطه ی اعداد گویا و غیر گویا در سیستم های ساده و پیچیده به ما در مورد آنها می گوید؟

برای درک این موضوع باید یک میانبر عجیب به نجوم بزنیم: یکی از دریافت های اولیه نجومی حرکت منظم سیارات به دور خورشید است. به این معنا که هر سیاره ای با یک نسبت مشخص با بقیه در حال حرکت است. زمین هر ۳۶۵ روز (تقریبا) به دور خورشید می چرخد در حالی که ماه حدودا ۳۰ روز طول می کشد که به دور زمین بچرخد و الخ! با این حال این اعداد معمولا دقیق نیستند با این خاطر که حرکت زمین به دور خورشید به طور کامل تناوبی (periodic) نیست بلکه شبه تناوبی (qusiperiodic) هستند به این معنا که حرکت آن ها دقیقا به نقطه ی اول بر نمیگردد بلکه کمی جابجاست! اما چرا باید چنین باشد. برای فهم این موضوع باید به حرکت زمین دقت کنید: زمین نه تنها تحت تاثیر جرم خورشید است بلکه با یک تناوب به دور دومین جرم عظیم منظومه ی خورشید ما یعنی مشتری هم میچرخد. نتیجه ی این دو تناوب حرکت نه بر روی یک دایره بلکه یک دونات شکل (در ریاضی به آن تورس torus) می گوییم و به صورت زیر است

BY MatlabTips