Олимпиадная геометрия

Как показывают ответы выше, вопрос не такой уж и интуитивно понятный. На самом деле, если пытаться не просто угадать, а доказать соответствующий факт, то задача становится еще запутаннее.

Я знаю общий ответ в n-мерном пространстве и доказательство, в котором первый шаг... это преобразование Фурье характеристической функции куба. Правда, не выглядит тривиально?

Тем не менее, если ответ получен, то вместе с ним получается и ответ на такой вопрос.

Вопрос. Предположим в R^n даны два выпуклых центрально-симметриченых тела K и L с центром симметрии в начале координат. Оказалось, что любое центральное (n-1)-мерное сечение K имеет площадь меньше, чем сечение L той же гиперплоскостью. Верно ли, что тогда объем K меньше объема L?

Ответ оказывается отрицательным и контрпримером в размерностях больше 10 (не помню точно) служат куб и шар. А все потому, что можно явно указать сечение наибольшей площади у куба и посчитать ее.

Естественным продолжением служит такой вопрос.

Вопрос. Предположим в R^n даны два выпуклых центрально-симметриченых тела K и L с центром симметрии в начале координат. Оказалось, что любое центральное (n-1)-мерное сечение K имеет площадь как минимум в C раз меньше, чем сечение L той же гиперплоскостью. Верно ли, что существует такая универсальная константа C (не зависящая от размерности), которая гарантирует, что объем K меньше объема L?

Этот вопрос оставался открытым около 40 лет. И позавчера опубликовали препринт, подтверждающий, что это утверждение верно!

Что интересно, у этой гипотезы (теперь уже теоремы) есть множество абсолютно разнородных и нетривиальных переформулировок. Помню я даже как-то делал доклад в лаборатории Ч и рассказывал про это.

Вот, например, simplex conjecture (не помню, эквивалентна ли, но в одну сторону следствие точно есть).

Simplex conjecture. Обозначим через m(K) среднее значение объемов симплексов, лежащих внутри K. Тогда среди всех выпуклых тел единичного объема максимум m достигается на симплексе. (Минимум, кстати, достигается на шаре и это известно.)

www.tgoop.com/olympgeom/1573

5.5K viewsDec 21 at 09:29

Как показывают ответы выше, вопрос не такой уж и интуитивно понятный. На самом деле, если пытаться не просто угадать, а доказать соответствующий факт, то задача становится еще запутаннее.

Я знаю общий ответ в n-мерном пространстве и доказательство, в котором первый шаг... это преобразование Фурье характеристической функции куба. Правда, не выглядит тривиально?

Тем не менее, если ответ получен, то вместе с ним получается и ответ на такой вопрос.

Вопрос. Предположим в R^n даны два выпуклых центрально-симметриченых тела K и L с центром симметрии в начале координат. Оказалось, что любое центральное (n-1)-мерное сечение K имеет площадь меньше, чем сечение L той же гиперплоскостью. Верно ли, что тогда объем K меньше объема L?

Ответ оказывается отрицательным и контрпримером в размерностях больше 10 (не помню точно) служат куб и шар. А все потому, что можно явно указать сечение наибольшей площади у куба и посчитать ее.

Естественным продолжением служит такой вопрос.

Вопрос. Предположим в R^n даны два выпуклых центрально-симметриченых тела K и L с центром симметрии в начале координат. Оказалось, что любое центральное (n-1)-мерное сечение K имеет площадь как минимум в C раз меньше, чем сечение L той же гиперплоскостью. Верно ли, что существует такая универсальная константа C (не зависящая от размерности), которая гарантирует, что объем K меньше объема L?

Этот вопрос оставался открытым около 40 лет. И позавчера опубликовали препринт, подтверждающий, что это утверждение верно!

Что интересно, у этой гипотезы (теперь уже теоремы) есть множество абсолютно разнородных и нетривиальных переформулировок. Помню я даже как-то делал доклад в лаборатории Ч и рассказывал про это.

Вот, например, simplex conjecture (не помню, эквивалентна ли, но в одну сторону следствие точно есть).

Simplex conjecture. Обозначим через m(K) среднее значение объемов симплексов, лежащих внутри K. Тогда среди всех выпуклых тел единичного объема максимум m достигается на симплексе. (Минимум, кстати, достигается на шаре и это известно.)

BY Олимпиадная геометрия