۳۴
#ژئودزیک_۲

🟢 فرض کنیم که جعبه‌ی مکعبی کوچکی را با ریسمان کوتاهی از سقف اتاق آویزان کرده‌ایم. روی رخ‌ بالایی مکعب، چراغ ِ چشمک‌زنی قرار داده‌ایم که نور ِ‌ تک‌بسامدی منتشر می‌کند. در کف مکعب هم گیرنده‌ای قرار داده‌ایم که بسامد نور چراغ را اندازه می‌گیرد. به نظر ت بسامدی که در گیرنده ثبت می‌شود بزرگ‌تر از بسامد نور خود چراغ ه یا کم‌تر از آن؟

🔵 هر بار که چراغ روشن و خاموش می‌شود، قطاری از قله‌های موج، به تعداد معلوم در هر واحد زمان، به دنبال هم از آن بیرون می‌ریزند. این قطار ِ قله‌ها، در راستای ارتفاع مکعب پایین می‌آیند تا به گیرنده برسند. آيا می‌پرسیم که در هر واحد زمان، چند قله‌ به گیرنده وارد می‌شود؟

🟢 بله.

🔵 آزمایش پیچیده‌ای ه چون ریسمان به جعبه نیرو وارد می‌کند. پس اول فرض کنیم که در لحظه‌ی معینی، ریسمان را پاره می‌کنیم و چراغ هم هم‌زمان، برای لحظه‌ای روشن می‌شود. از منظر جعبه‌‌ی آزادافتان، نیرویی در کار نیست و جعبه در هنگام آزمایش ساکن ه. پس نور چراغ، در راستای ارتفاع جعبه حرکت می‌کند و بدون تغییری در بسامد، به گیرنده می‌رسد.

🟢 اما از منظر ما که در اتاق ایستاده‌ایم، با پاره شدن ریسمان، جعبه در میدان گرانشی سقوط می‌کند و سرعت می‌گیرد. یعنی در لحظه‌ای که قطار موج به گیرنده می‌رسد، گیرنده در حال دور شدن از محل اولیه‌ی چراغ ه.

🔵 منظور ت اثر داپلر ه (گفتگوی ۲۷، #فضا_۸)! چون در منظر ما هر قله‌ از قطار قله‌ها، مسافت بیش‌تری را نسبت به قله‌ی قبلی طی می‌کند تا به گیرنده برسد، تعداد قله‌هایی که در واحد زمان به گیرنده می‌رسد باید کم‌تر از تعداد قله‌هایی باشد که در واحد زمان از چراغ بیرون ریخته!

🟢 اما آیا معقول ه که ناظر هم‌راه جعبه بگوید گیرنده همان بسامدی را ثبت می‌کند که چراغ تولید کرده اما در منظر ما، بسامد ثبت شده در گیرنده، عدد کوچک‌تری باشد؟

🔵 نه! عددی که گیرنده نشان می‌دهد از ناظر مستقل ه. تنها توضیح معقول باید این باشد که در منظر ما، بسامد نور در اثر سقوط در میدان گرانشی زیاد می‌شود؛ آن‌قدر که اثر داپلر را خنثی کند.

🟢 و پاسخ سوال من؟

🔵 پرسش تو مربوط به چیدمانی بود که در آن ریسمان پاره نشده و به جعبه نیرو وارد می‌کند. چون در هنگام آزمایش، جعبه نسبت به اتاق ساکن ه، در منظر ما، فقط اثر میدان گرانش پدیدار می‌شود و بسامد نوری که در گیرنده ثبت می‌شود بیش‌تر از بسامد نوری ه که چراغ تولید کرده است!

🟢 به این پدیده می‌گویند «آبی-سویی گرانشی» یا «انتقال به آبی گرانشی».

🟠 فرض ِ پاره شدن ریسمان، برای بررسی مسئله ضروری نیست. ریسمان، نیروی به سمت بالا به جعبه وارد می‌کند. پس نتیجه‌ی آزمایش‌هایی که درون جعبه‌ی آویزان انجام می‌شود، شبیه اتفاق‌هایی ه که درون جعبه‌ی شتاب‌داری رخ می‌دهد.

🔵 پس فرض می‌کنیم جعبه در فضای میان‌ستاره‌ای حرکت می‌کند و نیرویی به آن وارد می‌شود که هم‌واره آن را به سمت «بالا» هل می‌دهد. در نتیجه، سرعت حرکت جعبه، لحظه به لحظه افزایش می‌یابد.

🟠 برای ساده‌گی فرض می‌کنیم سرعت جعبه در لحظه‌ی روشن شدن چراغ، برابر ه با صفر. یعنی هر بار که چراغ ِ چشمک‌زن روشن و خاموش می‌شود، آزمایش را در منظر کسی (چارچوب آزادافتانی در فضای میان‌ستاره‌ای) بررسی می‌کنیم که در لحظه‌ی روشن شدن چراغ، نسبت به جعبه ساکن است. در منظر او، هم‌زمان با روشن شدن چراغ، جعبه هم به حرکت در می‌آید.

🔵 در منظر او، نور چراغ مسافتی را به سمت «پایین» طی می‌کند تا به گیرنده‌‌ برسد. اما در آن لحظه، گیرنده با سرعت به طرف «بالا» در حرکت است. پس هر قله‌ از قطار قله‌ها، مسافت کم‌تری را نسبت به قله‌ی قبلی طی می‌کند تا به گیرنده برسد. در نتیجه، تعداد قله‌هایی که در واحد زمان به گیرنده می‌رسد بیش‌تر از تعداد قله‌هایی ه که در واحد زمان از چراغ بیرون ریخته. یعنی بسامد نوری که در گیرنده ثبت می‌شود از بسامد نور خود چراغ بیش‌تر است.

۳۵
#ژئودزیک_۳

🔵 فرض کنیم که چراغ تک-بسامدی را در کف اتاق قرار داده‌ایم و پرتو نور آن به سوی بالا می‌تابد. آیا گیرنده‌ای که مثلا روی سقف اتاق نصب شده است، بسامد نور را کم‌تر از بسامد نور گسیل شده از چراغ ثبت می‌کند؟

🟢 برای تحلیل مسئله فرض کنیم چراغ و گیرنده‌ درون جعبه‌ی کوچکی نصب شده‌اند. چون جعبه ساکن ه، حتما نیرویی به سمت بالا به آن‌ وارد می‌شود. پس نتیجه‌ی آزمایش‌هایی که درون آن انجام می‌شود، شبیه اتفاق‌هایی ه که درون جعبه‌ی شتاب‌داری، در فضای میان‌ستاره‌ای، رخ می‌دهد. آزمایش را در منظر کسی بررسی می‌کنیم که در لحظه‌ی روشن شدن چراغ، نسبت به جعبه ساکن ه. در منظر او، هم‌زمان با روشن شدن چراغ، جعبه به طرف «بالا» به حرکت در می‌آید.
#ژئودزیک_۲

🔵 در منظر او، نور چراغ مسافتی را به سمت «بالا» طی می‌کند تا به گیرنده‌‌‌ برسد. اما در آن لحظه، گیرنده با سرعتی فزاینده به سوی «بالا» در حرکت است. پس هر قله‌ از قطار قله‌ها، مسافت بیش‌تری را نسبت به قله‌ی قبلی طی می‌کند تا به گیرنده برسد. در نتیجه، تعداد قله‌هایی که در واحد زمان به گیرنده می‌رسد، کم‌تر از تعداد قله‌هایی ه که در واحد زمان از چراغ بیرون ریخته.
#فضا_۸


🟠 من راهی برای تخمین اندازه‌ی تغییر بسامد با ارتفاع پیدا کرده‌ام. می‌دانیم که «تغییر نسبی بسامد با ارتفاع» از جنس «وارون طول» ه.

🔵 نه نمی‌دانیم! «تغییر نسبی بسامد با ارتفاع» چی هست؟

🟢 کسری را در نظر بگیر که در صورت آن، تفاضل اندازه‌ی بسامد گسیل شده و اندازه‌ی بسامد ثبت شده را بنویسیم و در مخرج آن، بسامد نور گسیل شده را بیاوریم. به این کسر می‌گوییم «تغییر نسبی بسامد» که نشان می‌دهد بسامد، چند درصد تغییر کرده.

🔴 «تغییر نسبی بسامد» برابر است با (بسامد گیرنده منهای بسامد فرستنده) تقسیم بر بسامد فرستنده. البته یاد ت باشد که مقدار داخل پرانتز را پیش از عمل تقسیم حساب کنی.

🔵 مثلا اگر بسامد گسیل ۱۰۰ واحد باشد و بسامد ثبت شده در گیرنده ۹۹ واحد باشد، مقدار آن کسر برابر با یک صدم می‌شود و می‌گوییم بسامد یک درصد تغییر کرده است.

🟢 درست ه. ولی خود این عدد بی معنا است. باید بدانیم که این یک درصد تغییر، به ازای چه‌ تغییری در ارتفاع رخ داده است. پس مقدار آن کسر را به اندازه‌ی تغییر ارتفاع تقسیم می‌کنیم.

🔴 «تغییر نسبی بسامد با ارتفاع» برابر است با «تغییر نسبی بسامد» تقسیم بر «تفاضل ارتفاع». یعنی اگر آن یک درصد تغییر نسبی بسامد، نظیر دو واحد تغییر در ارتفاع باشد می‌گوییم که «تغییر نسبی بسامد با ارتفاع» برابر است با یک تقسیم بر «دویست واحد فاصله».

🟢 به همین دلیل، آهنگ تغییر نسبی بسامد با ارتفاع از جنس «وارون طول» است.

🟠 ما استدلال کردیم که این تغییر نسبی، اثری نسبیتی و ناشی از شتاب گرانش ه. مشخصه‌ی نسبیت اینشتین، سرعت نور ه که از جنس «طول تقسیم بر زمان» ه. شتاب گرانش هم از جنس «طول تقسیم بر «زمان به توان دو»» است. اگر شتاب گرانش را به سرعت نور تقسیم کنیم چیزی با جنس «وارون زمان» به دست می‌آوریم.

🔵 خب شتاب یعنی آهنگ تغییر سرعت در زمان. پس جنس «نسبت شتاب به سرعت» مثل جنس «وارون زمان» ه.

🔴 اگر برای نشان دادن جنس هر کمیتی از نماد قلاب استفاده کنیم می‌توانیم بنویسیم [شتاب گرانش] برابر است با [سرعت نور] تقسیم بر [زمان]. پس، [شتاب گرانش تقسیم بر سرعت نور] برابر است با [وارون زمان].


🟠 اگر نتیجه را دوباره به سرعت نور تقسیم کنیم، کمیتی از جنس «وارون طول» به دست می‌آید.

🔴 [وارون زمان] تقسیم بر [سرعت نور] برابر است با [وارون زمان] تقسیم بر ([طول] ضرب در [وارون زمان]) که با باز کردن پرانتز می‌شود: [وارون زمان] تقسیم بر [طول] ضرب در [وارون زمان] که برابر است با [ وارون طول].

🔵 سرعت نور تقریبا برابر ه با سه ضرب‌ در ده به توان هشت متر بر ثانیه. شتاب گرانش هم تقریبا برابر ه با ده متر بر مجذور ثانیه. پس «تغییر نسبی بسامد با ارتفاع» در سطح زمین از مرتبه‌ی یک تقسیم بر «ده به توان شانزده متر» ه!

🟠 بسامد نور مرئی حدودا پنج ضرب در ده به توان چهارده هرتز ه. پس به ازای هر یک متر تغییر در ارتفاع، بسامد نور مرئی به اندازه‌ی حدودا پنج صدم هرتز تغییر می‌کند.

🔴 اندازه‌ی تغییر بسامد برابر است با «تغییر نسبی بسامد با ارتفاع» ضرب در «تغییر ارتفاع» ضرب در «بسامد فرستنده».

۳۶
#زمان_۱۲

🔴 یاد ت ه می‌گفتی نسبی بودن ضرب‌آهنگ‌ ساعت‌ها برای ناظرهایی که نسبت به هم در حرکت اند، تبعات دارد؟ #زمان_۵

🟠 هنوز هم فکر می‌کنم که آن حرف‌ها نادرست ه. شما می‌گویید چون سرعت نور برای همه‌ی ناظرهای لخت یک‌سان ه پس هم‌زمانی نسبی ه. اما من مطمئن ام که هم‌زمانی مطلق ه و آن ‌آزمایش‌ها هم توضیح دیگری دارند.

🔴 بیا فرض کنیم که دو نفر نسبت به هم ساکن اند. ولی یک نفرشان بالای پشت بام ایستاده و دیگری در حیاط. قبول داری که اگر بسامد نور در «بالا» هزار نوسان در واحد زمان باشد، بسامد همان پرتو در «پایین» کمی بیش‌تر، مثلا هزار و یک نوسان در واحد زمان است.

🟠 بله. این نتیجه‌ی معقول گفتگوهای قبلی ما ست!

🔴 لابد معقول ه چون نتیجه‌ی استدلال‌های خود ت ه. بگذریم. فرض کن که این پرتو نور، نتیجه‌ی نوسان اتمی ه.

🟠 از منظر بالا، اتم‌ها در هر واحد زمان هزار نوسان کرده اند و از منظر پایین …

🔴 چی شد گیر کردی؟ «هزار و یکی!» نه؟

🟠 چنین چیزی معقول نیست. تعداد نوسان‌‌ها ربطی به ناظر ندارد.

🔴 دقیقا. تنها راه توضیح قضیه این ه که فرض کنیم واحد ِ زمان ِ حیاط، کمی طولانی‌تر از واحد ِ زمان ِ پشت بام است. یعنی وقتی اتم‌ها هزار و یک نوسان می‌کنند، در حیاط فقط یک واحد زمان گذشته اما در پشت بام یک واحد و خورده‌ای!

🟠 ممکن نیست.

🔴 هم ممکن ه هم معقول. نتیجه‌ی استدلال‌های خود ت ه! فقط مانده‌ام آیا گالیله این موضوع را هم می‌دانسته یا نه؟ باید از تام هنکس بپرسیم!

🟠 تام هنکس کی ه؟

🔴 کاشف رمز داوینچی!

۳۷
زمان-۱۳


🔵 خلاصه‌‌ی بحث شما این ه که ساعتی که در حیاط کار گذاشته شده، کندتر از ساعتی که روی پشت بام قرار دارد کار می‌کند هرچند که این ساعت‌ها نسبت به هم ساکن اند. #زمان_۱۲.

🔴 بله. چون واحد ِ زمان ِ حیاط  کمی طولانی‌تر از واحد ِ زمان ِ پشت بام است. 

🔵 و «تغییر نسبی آهنگ کار ساعت‌ها با ارتفاع» هم با شتاب گرانش متناسب است؟

🟠 هرچند باور ش دشواره ولی این گزاره، نتیجه‌ی مستقیم «تغییر نسبی بسامد با ارتفاع» است #ژئودزیک_۳. بسامد یعنی «تعداد نوسان در واحد زمان»، و ما فقط ادعا کرده‌ایم که «تعداد نوسان» از ناظر مستقل ه. پس اگر بگوییم که بسامد پرتو نور با ارتفاع تغییر می‌کند، ناچار ایم بپذیریم که آهنگ کار ساعت‌ها هم با ارتفاع تغییر می‌کند. 

🔴 چه باور بکنی چه نه، موقعت‌یاب جی‌پی‌اس بر همین اساس کار می‌کند. 

🔵 ولی شتاب گرانش هم تابعی از ارتفاع ه. «شتاب ِ گرانش ِ زمین» در مدار کره‌ی ماه خیلی کم‌تر از شتاب گرانش زمین در سطح دریا است. 

🔴 معنای حرف ت این ه که در فواصل دور از سطح زمین، تغییر ارتفاع، تاثیر زیادی روی آهنگ کار ساعت‌ها ندارد. 

🔵 در واقع به وارون این مسئله فکر می‌کردم. ستاره‌ای را در نظر بگیریم که سطح ندارد. 

🔴 هیچ ستاره‌ای سطح ندارد. همه‌ی ستاره‌ها از گاز ساخته‌ شده اند. 

🔵 نه منظور م سطح سخت یا نرم نیست. فرض کن که ماده‌ی سازنده‌ی ستاره‌، آن‌چنان فشرده است که هر چه‌قدر به مرکز آن ستاره نزدیک بشویم هم‌چنان اثری از خود ماده‌ی سازنده‌ نبینیم. انگار که همه‌ی جرم ستاره را در یک نقطه جمع شده باشد. ساعت‌هایی که در نزدیکی مرکز ستاره کار گذاشته‌ شده‌اند خیلی کندتر از ساعت‌هایی که در دوردست قرار دارند کار می‌کنند. آیا ممکن ه در فاصله‌ی معینی از مرکز ستاره، ساعت‌ها از کار بیفتند؟

🟠 به نظر م اگر آزمایش «پرتو نور در جعبه‌ی آزاد افتان» را مرور کنیم به جواب برسیم. #ژئودزیک_۲. جعبه‌ی کوچکی داریم که در فاصله‌ی معینی از مرکز ستاره قرار گرفته است. کف جعبه در طرف ستاره قرار دارد. در لحظه‌ای که چراغ بالای جعبه روشن می‌شود، جعبه را رها می‌کنیم. 

🔵 از اصل هم‌ارزی می‌دانیم که بسامد پرتو نوری که در گیرنده‌ی کف جعبه ثبت می‌شود، با بسامد نوری که فرستنده ثبت کرده برابر است. اما چون گیرنده، در لحظه‌ی دریافت نور با سرعت معینی به طرف مرکز ستاره در حرکت است، به دلیل اثر داپلر، بسامد پرتو نور را کم‌تر از بسامد همان پرتو در «منظر کسانی که سقوط نمی‌کنند» ثبت می‌کند. پس از «منظر کسانی که سقوط نمی‌کنند»، بسامد نور در محل ِگیرنده، بیش‌تر از بسامد ِفرستنده است. 

🔴 و تو می‌خواهی که افزایش بسامد، بی‌اندازه بزرگ باشد. 

🟠 استدلال‌ ما فقط برای جعبه‌های کوچک درست است. قرار است که سرعت جعبه، در فاصله‌ی زمانی کوتاهی که پرتو نور طول جعبه را طی می‌کند، بی‌اندازه زیاد شود. پس در آن فاصله‌ی معین از مرکز ستاره، شتاب گرانش بی‌اندازه بزرگ است. 

🔵 چه جای خطرناکی است. اگر کسی به آن منطقه نزدیک بشود سقوط ش حتمی است. 

🔴 ولی می‌توانیم فضاپیمایی را کمی دورتر از آن فاصله‌ی معین مستقر کنیم هرچند که ساعت‌های درون آن فضا‌پیما، بسیار کند کار می‌کنند.

 🔵 انگار که چندتا تنبل درختی را به فضا فرستاده باشیم. به نظر تان، آن‌ها ستاره‌ها و که‌کشان‌ها را به چه شکلی می‌بینند؟

***

یادداشت: در این گفتگو، اندازه‌ی شتاب گرانش و آبی-سویی یا سرخ-سویی گرانشی در نزدیکی افق روی‌داد سیاه‌چاله‌ی شوارتزشیلد را با به کارگیری اصل هم‌ارزی بررسی کرده‌ایم. هندسه‌ی شوارتزشیلد از حل معادله‌‌های میدان اینشتین به دست می‌آید. برای پاسخ‌های دیگر معادله‌های اینشتین، این روش مبتنی بر اصل هم‌ارزی، الزاما کارآمد نیست. 

۳۸
سیاه‌چاله-۱

🔵 این روش بحث منطقی شگفت‌انگیز ه! اصل هم‌ارزی می‌گوید اتفاق‌های درون جعبه‌ای که آزادانه سقوط می‌کند، شبیه به اتفاق‌های درون جعبه‌ای ه که به دور از میدان‌های گرانشی رها شده است. از همین اصل ساده، ما به این نتیجه رسیدیم که آهنگ کار ساعت‌ها به ارتفاعی که در آن نصب شده‌اند وابسته است.

🟢 بله و درستی این گزاره به تایید آزمایش‌ هم رسیده است.

🔵 خب من سعی کردم بحث را گسترش بدهم. فرض کردم ستاره‌ای هست که سطح ندارد. انگار همه‌ی جرم ستاره در یک نقطه جمع شده باشد. و فرض کردم ساعت‌هایی، دور و اطراف ستاره کار گذاشته‌ شده‌اند. پرسیدم آیا ممکن ه در فاصله‌ی معینی از مرکز ستاره، ساعت‌ها از کار بیفتند؟

🟢 به چه نتیجه‌ای رسیدید؟

🔵 فهمیدیم که اگر چنین ناحیه‌ای وجود داشته باشد، شتاب گرانش در آن‌جا بی‌اندازه بزرگ است و در نتیجه اگر کسی به آن منطقه نزدیک بشود سقوط ش حتمی است.

🟢 چرا؟

🔵 از این فرض که ساعت‌ها در آن ناحیه از فضا بی‌اندازه کند شده‌اند نتیجه گرفتیم که بسامد هر پرتو نوری که از بیرون آن ناحیه به سوی مرکز ستاره می‌تابد، در نزدیکی آن ناحیه، بی‌اندازه بزرگ می‌شود. با این فرض که پرتو نور از چراغی که در بالای جعبه‌ی آزادافتانی نصب شده تابیده، و از اصل هم‌ارزی که می‌گوید درون جعبه‌ی آزادافتان، همه چیز عادی است، نتیجه گرفتیم که در گیرنده‌ای که در کف جعبه نصب شده، اثر آبی-سویی گرانشی با انتقال داپلری بزرگی خنثی می‌شود. یعنی سرعت جعبه‌ پس از رها شدن، ناگهان به سرعت نور می‌رسد. پس شتاب گرانش در آن ناحیه بی‌اندازه است.

🟢 خب! از نظریه‌ی اینشتین می‌دانیم که ممکن ه چنین ناحیه‌ای در فضا وجود داشته باشد و به آن افق روی‌داد سیاه‌چاله می‌گوییم.

🔵 یعنی بر اساس نظریه‌ی اینشتین، ستاره‌ای هست که سطح ندارد و همه‌ی جرم ش در یک نقطه جمع شده؟

🟢 همان طور که گفتی از افق روی‌داد هیچ نوری به بیرون نمی‌تابد. در نتیجه با هیچ مشاهده‌ای نخواهیم دانست که در پشت افق روی‌داد چه خبر است. موضوعی که شما بررسی کرده‌اید به پاسخی از معادله‌های میدان اینشتین مربوط ه که به افتخار یابنده ش، سیاه‌چاله‌ی شوارتزشیلد نامیده می‌شود. این گزاره که شتاب گرانش در نزدیکی افق روی‌داد بی‌اندازه بزرگ است با نظریه‌ی اینشتین هم‌خوان ه. یعنی اگر پای کسی به افق روی‌داد برسد، هرگز برنمی‌گردد.

🔵 جالب نیست که ما، بی‌آن که معادله‌های اینشتین را به کار ببریم به همین نتایج رسیده ایم؟

🟢 نتایج شما با نظریه‌ی اینشتین در توافق نیست. فرض کن فضاپیمایی در نزدیکی افق روی‌داد مستقر شده و کاوش‌گری را رها می‌کند. شما گفتید از منظر فضاپیما، سرعت کاوش‌گر ناگهان به سرعت نور می‌رسد.

🔵 برای آن که اثر داپلر، آبی‌سویی گرانشی را خنثی کند.

🟢 بر اساس نظریه‌ی اینشتین، سرعت کاوش‌گر پس از رهایی کمی افزایش می‌یابد.

🔵 چون در میدان گرانشی سقوط می‌کند.

🟢 درست ه ولی بعد از مدتی دوباره کم می‌شود و در نزدیکی افق روی‌داد تقریبا صفر می‌شود. در واقع از منظر فضاپیما، کاوش‌گر هیچ وقت به افق روی‌داد نمی‌رسد [نمودار را ببینید].

🔵 چه طور ممکن ه؟ مگر نگفتی که شتاب گرانش در افق روی‌داد بی‌اندازه بزرگ ه؟

🟢 بله. بی‌اندازه بزرگ ه. اما از منظر فضاپیما، کاوش‌گر هیچ‌وقت از افق رد نمی‌شود.

🔵 این که با اصل هم‌ارزی نمی‌خواند. از منظر کاوش‌گر، نیروی گرانشی در کار نیست و افق روی‌دادی وجود ندارد. در نتیجه کاوش‌گر به آسانی از افق رد می‌شود.

🟢 این نکته هم درست ه. منظور م این ه که از نظریه‌ی اینشتین هم همین گزاره به دست می‌آید. اگر اندازه‌ی کاوش‌گر کوچک باشد، در زمان متناهی از افق روی‌داد عبور می‌کند بی‌آن که آسیبی ببیند.

🔵 می‌گویی که از منظر فضاپیما، کاوش‌گر هیچ وقت از افق رد نمی‌شود، هرچند که کاوش‌گر در زمان متناهی از افق رد شده است؟

🟢 کاوش‌گر در زمان متناهی به حساب ساعت‌های هم‌راه ش از افق رد می‌شود. اما از منظر فضاپیما، کاوش‌گر تا ابد به افق نزدیک می‌شود و هرگز به آن نمی‌رسد.

نمودار سرعت کاوش‌گر (محور عمودی) برحسب زمان در منظر فضاپیما (محور افقی). لحظه‌ی صفر، زمانی است که کاوش‌گر رها شده است. نمودار با نرم‌افزار میپل رسم شده است.

نمودار گذر زمان در فضاپیما (محور عمودی) بر حسب گذر زمان در کاوش‌گر (محور افقی). فرض شده که کاوش‌گر، در یک واحد زمانی به حساب ساعت هم‌راه ش به افق می‌رسد. طول این زمان در منظر فضاپیما بی‌نهایت است. نمودار با نرم‌افزار میپل رسم شده است.

۳۹
#سیاه‌چاله_۲

🔵 ما کجا اشتباه کرده‌ایم؟

🟢 درباره‌ی رفتار کاوش‌گر در نزدیکی افق روی‌داد؟

🔵 بله. ما همان استدلالی را به کار بردیم که با آن تغییر نسبی بسامد با ارتفاع را بررسی کردیم و درستی آن هم با آزمایش سنجیده شده است. بر چه اساسی می‌گویی که این استدلال برای «افق ِ روی‌داد» سیاه‌چاله نادرست ه؟

🟢 فقط به این دلیل که بعضی از نتایج شما با نظریه‌ی اینشتین نمی‌خواند و درستی این نظریه در همه‌ی رصدها و آزمایش‌ها تایید شده است. استدلال شما دو جزء دارد. یکی اصل هم‌ارزی و دیگری اثر داپلر. از کجا می‌دانی که اثر داپلر در نزدیکی افق روی‌داد سیاه‌چاله به همان کیفیتی است که در زنده‌گی روزمره تجربه می‌کنیم؟ این‌جا ساعت‌ها کار می‌کنند اما در افق روی‌داد، زمان نمی‌گذرد.

🔵 مگر کسی فیزیک نزدیک به افق روی‌داد سیاه‌چاله را به آزمایش گذاشته است؟

🟢 نه واقعا. سیاه‌چاله‌ای که موضوع بحث ما است سیاه‌چاله‌ی شوارتزشیلد ه. فضازمان در بیرون از «افق روی‌داد سیاه‌چاله‌ی شوارتزشیلد» مثل فضازمان در اطراف توده‌-جرمی کروی-شکل ه که به دور خود ش نمی‌چرخد.

🔵 این که واقع‌بینانه نیست. هیچ چیزی کاملا گرد نیست و اگر هم باشد ممکن نیست که به دور خود ش نچرخد. حتی اگر چنین چیزی را بتراشیم و در فضا رها کنیم، پس از برخورد با اولین کلوخ فضایی از ریخت می‌افتد و شروع به چرخش می‌کند.

🟢 درست ه. اما «روی کر» پاسخی از معادله‌های اینشتین یافته که افق روی‌داد سیاه‌چاله‌ی چرخان را توصیف می‌کند و درستی این «پیش‌بینی ِ‌نظریه» با روش‌های گوناگونی تایید شده است. چون توصیف فضازمان در نزدیکی افق روی‌داد «سیاه‌چاله‌ی کر» کمی پیچیده ست، به‌تر ه بحث مان را به سیاه‌چاله‌ی شوارتزشیلد محدود کنیم هرچند که ممکن ه همانندی در آسمان نداشته باشد.

🔵 مشتاق ام بدانم که چه طور ممکن ه کاوش‌گر در زمان متناهی از افق بگذرد اما از منظر فضاپیما هرگز به آن‌جا نرسد.

🟢 بیا برای لحظه‌ای گرانش را فراموش کنیم. فرض کن که الف با سرعت از کنار من و تو رد شود و ما اندازه‌ی جابه‌جایی او را بر حسب زمان اندازه بگیریم.

🔵 با سرعت ثابت؟

🟢 نه. با هر شتاب دل‌خواهی. ولی برای ساده‌گی سرعت نور را برابر یک بگیر.

🔵 یعنی به جای متر، فاصله را برحسب ثانیه‌ی نوری اندازه بگیریم.

🟢 البته ثانیه‌ی نوری عدد بزرگی ه. در این بحث باید جابه‌جایی‌های بسیار کوچک در زمان‌های بسیار کوتاه را تحلیل کنیم.

🔵 در زمان‌های بسیار کوتاه که شتاب اثری ندارد. می‌توانیم فرض کنیم سرعت او ثابت است.

🟢 درست ه. «شتاب» تاثیری بر کار ساعت‌ها ندارد. #زمان_۱۱. ولی نمی‌خواهم با تاکید بر سرعت و شتاب، کلیت بحث را خدشه‌دار کنم. قصد من این ه که برای «جابه‌جایی ِ بسیار کوچک ِ الف» در «بازه‌ی زمانی بسیار کوتاهی»، رابطه‌ای بین «اندازه‌ی جابه‌جایی از منظر ما»، «زمان سپری شده از منظر ما» و «زمان سپری شده از منظر الف» بنویسم. قاعده‌ی فیثاغورس راه‌گشا ست. از نسبیت خاص اینشتین معلوم می‌شود که «زمان سپری شده از منظر ما»، مثل طول وتر مثلثی ه که یک ضلع ش با «میزان جابه‌جایی الف در منظر ما» و ضلع دیگر ش با «زمان سپری شده از منظر الف» داده می‌شود. [شکل نخست را ببینید].

🔵 و در نزدیکی افق روی‌داد سیاه‌چاله؟

🟢 ما در نقش فضا‌پیما ایم و الف در نقش کاوش‌گر. مثل قبل، اضلاع با «میزان جابه‌جایی کاوش‌گر از منظر ما» و «زمان سپری شده از منظر کاوش‌گر» داده می‌شود.

🔵 پس فرق ش در وتر ش ه!

🟢 بله. از نسبیت عام اینشتین معلوم می‌شود که اندازه‌ی وتر با «زمان سپری شده در منظر کاوش‌گر» ضرب در «فاصله‌ی بین کاوش‌گر و افق روی‌داد از منظر فضاپیما» تقسیم بر «قطر افق روی‌داد سیاه‌چاله‌ی شوارتزشیلد» داده می‌شود [شکل دوم را ببینید].

🔵 ولی کاوش‌گر در حال حرکت ه و فاصله‌ش با افق تغییر می‌کند.

🟢 به همین دلیل اصرار کردم که جابه‌جایی‌های بسیار کوچک در بازه‌ی زمانی بسیار کوتاه را بررسی می‌کنیم.

🔵 قطر افق روی‌داد را چه کسی اندازه می‌گیرد؟

🟢 کسی که در دوردست‌ها ایستاده است. از منظر او، افق روی‌داد به شکل کره‌ای به شعاع معین ه. اندازه‌ی قطر افق روی‌داد برابر است با چهار برابر «جرم سیاه‌چاله» ضرب در «ثابت جهانی گرانش» تقسیم بر «مربع سرعت نور»!

شکل نخست. فضازمان مینکوفسکی.

شکل دوم. فضازمان ریندلر (فضازمان در نزدیکی افق روی‌داد سیاه‌چاله‌ی شوارتزشیلد).

۴۰
سیاه‌چاله-۳

🟢 در چارچوب نسبیت عام اینشتین، دانستن رابطه‌ی بین «میزان جابه‌جایی از منظر ما»، «زمان سپری شده از منظر ما»، و «زمان سپری شده از منظر کاوش‌گر» هم‌ارز دانستن هندسه‌ی فضازمان است.

🔵 یعنی در نظریه‌های دیگر، این اطلاعات کافی نیست؟

🟢 نام آن چه که ما توصیف کردیم،‌ «متریک» ه. به جز دانستن متریک، یعنی به جز دانستن رابطه‌ی بین اندازه‌ی جابه‌‌جایی‌ و زمان‌های سپری شده، باید معنای توازی دو بردار را هم روشن کنیم. در نسبیت عام، توازی بر پایه‌ی متریک تعریف می‌شود.

🔵 اگر بخواهیم به جای کاوش‌گر، رفتار نور را بررسی کنیم چه کار باید بکنیم؟

🟢 باز هم متریک را به کار می‌بریم.

🔵 نمی‌شود. چون متریک را با مثلثی توصیف کردیم که یک ضلع ش «زمان سپری شده در کاوش‌گر» است. اگر بخواهیم رفتار نور را بررسی کنیم، تنها چیزهایی که می‌دانیم «میزان جابه‌جایی جبهه‌ی نوراز منظر ما» و «زمان سپری شده از منظر ما» است. هیچ ساعتی هم‌راه پرتو نور حرکت نمی‌کند که «زمان سپری شده در منظر پرتو» را اندازه بگیرد. اصلا ترکیب «منظر پرتو» بی‌معنا است.

🟢 درست ه. باید طول آن ضلع را برابر با صفر بگذاریم. مثلا در فضا‌ی مینکوفسکی که نظیر شکل اول در گفتگوی پیشین ما است، «اندازه‌ی جابه‌جایی نور در منظر ما» برابر است با «زمان سپری شده از منظر ما».

🔵 چون سرعت نور را برابر با یک گرفتیم و فاصله را مثلا با ثانیه‌ی نوری سنجیدیم.

🟢 بله. از دومین شکل گفتگوی پیشین ما پیدا است که در نزدیکی افق روی‌داد سیاه‌چاله‌ی شوارتزشیلد، «اندازه‌ی جابه‌جایی جبهه‌ی نور از منظر فضاپیما» برابر است با «زمان سپری شده از منظر فضاپیما» ضرب در «فاصله‌ی لحظه‌ای ِ پرتو تا افق» تقسیم بر قطر سیاه‌چاله!

🔵 مگر تعریف سرعت، «جابه‌جایی بخش بر زمان» نیست؟

🟢 هست.

🔵 می‌گویی که از منظر فضا‌پیما، اندازه‌ی سرعت پیش‌روی جبهه‌ی نور به سوی افق روی‌داد برابر است با «فاصله‌ی جبهه‌ی نور از افق» تقسیم بر «قطر سیاه‌چاله»؟

🟢 بله.

🔵 ولی فضاپیما در نزدیکی افق مستقر شده. پس این نسبت از عدد یک کوچک‌تر ه! روی خود افق، صفر ه.

🟢 برای همین ه که در منظر فضاپیما، هیچ پرتو نوری به افق نمی‌رسد [نمودار را ببینید] و چون نور، به هر حال، سریع‌تر از کاوش‌گر حرکت می‌کند، کاوش‌گر هم از افق رد نمی‌شود.

فاصله‌ی پرتو نور از افق روی‌داد (محور عمودی) برحسب زمان در منظر فضاپیما (محور افقی). پرتو نور در لحظه‌ی صفر از فاصله‌ی معینی به سوی افق روی‌داد تابیده شده است. نمودار با نرم‌افزار میپل رسم شده است.

۴۱
#شتاب_۳

🔵 اگر گرانش را نادیده بگیریم، فیزیک با نسبیت خاص اینشتین داده می‌شود. در نسبیت خاص می‌پذیریم که بعضی‌ها «ناظر لَخت» اند یعنی حرکت شان هم‌واره بی‌شتاب ه و بعضی‌ها هم «ناظر نالخت» اند یعنی سرعت حرکت‌شان در طول زمان ثابت نیست.

🟢 درست ه.

🔵 خب دو نفر را در نظر بگیر؛ مثلا الف و ب. فرض کن که سرعت حرکت آن‌ها نسبت به هم ثابت نیست. کدام شان ناظر لخت است؟

🟢 فرض کن که توپی در فضا معلق است و هیچ نیرویی به آن وارد نمی‌شود. اگر کسی ببیند که سرعت توپ متغیر است، خود او شتاب دارد.

🔵 می‌گویی که نیرو علت شتاب ه. پس اگر نیرویی نیست، نباید شتابی هم باشد. و اگر کسی در نبود نیروها، شتاب ناصفری را اندازه گرفت ایراد از خود او است!

🟢 این هم تعبیری ه! البته ناظرهای لخت و نالخت، درک متفاوتی از فضازمان دارند. فرض کن الف و ب در کنار هم ایستاده‌اند. در لحظه‌ای، مثلا در زمان صفر، الف با شتاب به حرکت در می‌آید. برای ساده‌گی، فرض کن شتاب الف، البته در منظر خود ش، (#شتاب_۱) هم‌واره ثابت است. شکل را ببین.

🔵 چه طوری این شکل را می‌کشی؟

🟢 طبق معمول، جابه‌جایی را بر حسب زمان رسم می‌کنم. محور افقی، زمان را نشان می‌دهد و محور عمودی، جابه‌جایی را. ب ساکن ه پس مسیر حرکت ش در فضازمان، (جهان‌خط)، با خطی افقی (سرخ رنگ) داده می‌شود.


🔵 چون او فقط در زمان جابه‌جا می‌شود نه در فضا.

🟢 دقیقا. اما سرعت نور ثابت ه پس جهان‌خط ش با خط راست موربی نمایش داده می‌شود؛ چون ما سرعت نور را برابر با یک می‌گیریم، میزان جابه‌جایی پرتو در فضا برابر است با زمان سپری شده. در شکل ما، خط‌های نارنجی و بنفش نماینده‌ی جهان‌خط‌های دو پرتو نور اند.

🔵 یعنی شیب جهان‌خط ِ پرتو، نظیر ۴۵ درجه است.

🟢 ویژه‌شتاب ِ‌ الف، یعنی اندازه‌ی شتاب در منظر خود ش (#شتاب_۱)، ثابت ه، پس جهان خط ش (آبی رنگ) هذلولی ه.

🔵 اگر ویژه‌شتاب ِ الف هم‌واره ثابت ه، بعد از مدتی الف به سرعت نور می‌رسد.

🟢 البته نه در زمان متناهی. حالا پرتو نوری را در نظر بگیر که به مسیر حرکت الف مماس است.

🔵 یعنی جهان‌خط نارنجی.

🟢 درست ه. به نقطه‌ی تلاقی جهان‌خط ِ ب (سرخ‌رنگ) و جهان‌خط آن پرتو دقت کن.

🔵 آن جهان‌خط، نظیر آخرین پرتو نوری ه که از ب به الف می‌رسد. آن هم در آخر دنیا!

🟢 از همین نکته معلوم می‌شود که از منظر الف، بی‌اندازه طول می‌کشد تا ب به نقطه‌ی تلاقی برسد؛ هرچند از منظر ِ خود ِ ب، او در زمان متناهی از نقطه‌ی تلاقی رد می‌شود و به بخشی از فضا‌زمان پا می‌گذارد که برای همیشه از منظر الف پنهان است.

🔵 روشن ه. الف هیچ وقت پرتو نور بنفش را نمی‌بیند!

نمودار با نرم‌افزار میپل رسم شده است.

۴۲
#تمام‌نگاری_۱

🔵 فرض کن الف ‌(جهان‌خط آبی) هم‌واره با شتاب ثابتی (در منظر خود ش #شتاب_۱) در حرکت است. مسیر حرکت او آن‌چنان است که در لحظه‌ی صفر با ب (جهان‌خط سرخ) که ساکن نشسته ملاقات می‌کند و بعد، راه آمده را برمی‌گردد. از منظر الف، جهان به افقی نورگونه (جهان‌خط نارنجی) ختم می‌شود. شکل را ببینید.

🟠 منظور ت از افق چی ه؟

🔵 الف برای همیشه از اتفاق‌های سمت ِ راست ِ جهان‌خط ِ‌ نارنجی بی‌خبر می‌ماند، چون هیچ پرتو نوری از آن ناحیه به او نمی‌رسد. برای نمونه، پرتو بنفش را ببین.

🔴 و از منظر الف، چیزی هم از افق رد نمی‌شود. چون آخرین پرتو نوری که از آن چیز به او می‌رسد، نظیر ِ جهان‌خط ِ نارنجی ه که آن هم در آخر دنیا به او می‌رسد!

🟠 اما الف می‌تواند با جهان پشت افق ارتباط برقرار کند. مثلا با پرتو نوری که با جهان‌خط سبز نمایش می‌دهم.

🔵 البته ارتباط یک‌سویه! پیام رادیویی سبزرنگ به ب می‌رسد اما پاسخ ب، (پیام رادیویی بنفش) هرگز به الف نمی‌رسد.

🔴 از منظر الف، هر چیزی که از سمت ِ چپ ِ‌ افق‌ ِ نارنجی رنگ به آن نزدیک می‌شود روی آن تلنبار می‌شود.

🔵 حرکت از چپ به راست هم که اجباری ه. چون نظیر ِ گذر ِ‌ زمان ه و متوقف نمی‌شود.

🟠 یعنی از منظر الف، همه‌ی آن اخبار و اطلاعات روی افق ذخیره می‌شود؟

🔵 ظاهراً.

🟠 محتوای پیام بنفش چه؟ به هر حال پیام سبز به ب رسیده و او هم پاسخی داده است. آیا خبر ِ آن هم روی افق نشسته است؟

🔵 به نظر م.

🟠 با این حساب باید در منظر الف اتفاق‌هایی روی افق بیفتد که هم‌ارز آن چیزهایی باشد که از منظر ب در پشت افق رخ‌ می‌دهد.

🔴 به نظر شما ظرفیت حافظه‌ی افق چه‌قدر است؟ حداکثر چند گیگابایت اطلاعات روی هر واحد از طول آن ذخیره می‌شود؟

🔵 فکر نمی‌کنم «بی‌نهایت» پاسخ مناسبی باشد. اما اگر نهایتی داشته باشد، باید بپرسیم که اگر همه‌ی ظرفیت ش پر شد، چه بر سر «بیت» بعدی می‌آید!

🟠 شاید هم باید بپرسیم که بیت بعدی چه بلایی بر سر فضازمان می‌آورد!

محور افقی گذر زمان، و محور عمودی فاصله از مبدا مختصه‌ها را نشان می‌دهد. نمودار با نرم‌افزار میپل رسم شده و با Paint 3D ویرایش شده است.

۴۳
خبر-۵

🔵 تیله‌ای را در نظر بگیر که در لحظه‌ی صفر در جای معینی از فضا، سرعت معینی دارد.

🟠 منظور ت از معین چی ه؟

🔵 یعنی می‌دانیم وقتی که آن‌جا است، سرعت ش چه‌قدر ه!

🟠 چه‌طوری بدانیم؟ فرض کن من با نوک قلم دو تا نقطه روی کاغذ بگذارم و از تو بخواهم فاصله‌ی بین آن‌ها را اندازه بگیری. چه کار می‌کنی؟

🔵 یک خط‌کش بر می‌دارم.

🟠 اما روی خط‌کش معمولی فقط تا میلی‌متر علامت‌گذاری شده است.

🔵 خب از خط‌کشی استفاده می‌کنم که دقت ش از میلی‌متر بیش‌تر باشد.

🟠 چه‌قدر دقیق‌تر؟

🔵 می‌دانم منظور ت چی ه. من نمی‌توانم جای تیله را دقیقا تعیین کنم. در تعیین سرعت ش هم خطایی دارم. پس بگذار صورت مسئله‌ را تغییر بدهم. من تیله‌ای دارم که می‌دانم در لحظه‌ی صفر، حدودا کجا ست و سرعت ش تقریبا چه‌قدر ه!

🟠 خب؟

🔵 خب همه‌ی طرح م به هم ریخت. می‌خواستم بگویم از مکانیک نیوتنی می‌دانیم آخر و عاقبت تیله چی ه. اما انگار چیز چندانی نمی‌دانیم. فقط می‌توانیم بگوییم که در هر لحظه حدودا کجا است و سرعت ش تقریبا چه‌قدر ه.

🟠 چیزهای بیش‌تری می‌دانیم. ما می‌دانیم که تیله در لحظه‌ی صفر دور و اطراف کدام نقطه‌ است و می‌توانیم حجم آن ناحیه را تعیین کنیم. اسم ش را می‌گذاریم حجم ناحیه‌ی خطای مکان در لحظه‌ی صفر. هم‌چنین می‌دانیم که سرعت ش حدودا چه‌قدر ه. مثلا صد واحد سرعت به طرف شرق با خطای به‌علاوه/منهای یک واحد، صفر واحد به سمت جنوب با خطای به‌علاوه/منهای دو واحد، و صفر واحد به سوی بالا با خطای به‌علاوه/منهای سه واحد.

🔵 یعنی تیله عملا به سمت شرق می‌رود ولی ممکن ه اندکی هم در راستای بالا-پایین یا شمال-جنوب سرعت داشته باشد.

🟠 درست ه. به ناحیه‌ی خطای سرعت هم حجمی نسبت می‌دهیم. یعنی حاصل ضرب خطا در سه راستا را حساب می‌کنیم که در این مثال می‌شود ۲x۴x۶=۴۸. از مکانیک نیوتنی معلوم می‌شود که حاصل ضرب «حجم ناحیه‌ی خطای مکان» در «حجم ناحیه‌ی خطای سرعت» در طول زمان ثابت ه.

🔵 پس همیشه می‌دانیم که تیله حدودا کجا است و سرعت ش تقریبا چه‌قدر ه!

🟠 نه واقعا. برای ساده‌گی فرض کن حرکت فقط در یک راستا است. ناحیه‌ی خطای مکان مثل پاره‌خط ه. ناحیه‌ی خطای سرعت هم مثل پاره‌خط ه. کل ناحیه‌ی خطا مثل مستطیل ه (شکل ۱ را ببینید).

🔵 پس به جای «حجم»، «سطح» ناحیه‌ی خطا موضوع تحلیل ما است.

🟠 حالا فرض کن به تیله‌ای که پایین تپه‌ای قرار گرفته ضربه بزنیم به ترتیبی که از تپه بالا برود ولی به قله نرسد. هر خطای بسیار کوچکی در تعیین محل اولیه‌ی تیله و سرعت اولیه‌ش، نتیجه را عوض نمی‌کند. تیله حداکثر تا بالای تپه، تا نزدیکی قله می‌رود و برمی‌گردد اما اگر اندازه‌ی خطا کمی بزرگ‌تر شود، تیله از قله رد می‌شود و معلوم نیست تا کجا برود (شکل ۲ را ببینید).

🔵 اما گفتی سطح کل ناحیه‌ی خطا ثابت ه!

🟠 درست ه. در این مثال، شکل ناحیه‌ی خطا در لحظه‌ی صفر شبیه مستطیل ه. با گذشت زمان یک گوشه‌ی مستطیل مثل سوزنی کشیده می‌شود (نظیر عبور تیله از قله) و هر چه بلندتر می‌شود (نظیر دورتر رفتن آن تیله) تیزتر هم می‌شود جوری که اندازه‌ی کل سطح تغییر نکند (شکل ۳ را ببینید).