Очень прикольная задача.

D - точка касания вписанной в треугольник ABC окружности, с центром I, со стороной AC. Докажите, что одна из общих внешних касательных к вписанной окружности AIB и вневписанной окружности CID (напротив вершины C) перпендикулярна биссектрисе угла C.

Одна из самых красивых задач из тех что я видел.

Точки ABCDEF лежат на 1 конике, не являющейся равнобокой гиперболой, причем ABC и DEF имеют общий ортоцентр. Докажите, что их общий ортоцентр лежит на радикальной оси окружностей (ABC) и (DEF).

Вот такую Классную задачу нашел на aops. Интересна она в основном за счет пункта C, в котором можно применить одну очень крутую идею. Собственно решение с этой идеей написал на aops

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h3239277_a_problem_about_the_incircle_of_triangle_ibc

Очень крутая задача у которой есть много решений, но одно из них мне особенно нравится, правда до него очень сложно догадаться. Санкт-Петербургская городская 10.6

У треугольников ABC и DEF общие вписанная и описанная окружности. Вписанная окружность касается стороны BC в точке A_1, а прямой EF в точке D_1. Оказалось, что AA_1 и AD_1 изогонали в угле BAC. Докажите, что DD_1 и DA_1 изогонали в EDF.

Подсказка тому супер решению: надо доказать, что оба условия равносильны тому, что AD проходит через интересную точку фиксированную при вращении понселе

IMO 2023 shortlist g7.

В треугольнике ABC H - ортоцентр, l_a - прямая, проходящая через точки симметричные C относительно BH и B относительно CH. l_b, l_c определены аналогично. Докажите, что H лежит на прямой эйлера треугольника со сторонами, лежащими на l_a, l_b, l_c.

IMO 2023 Shortlist g6.

Пусть ABC остроугольный треугольник с описанной окружностью W. Окружность Г касается описанной в точке A и стороны BC в точке D. AB и AC пересекаются с Г в точках P и Q. M и N - отражения D относительно B и C соответственно. MP и MQ пересекаются в точке K и повторно пересекают Г в точках I и J. KA вторично пересекает Г в точке X.
Докажите, что углы BXP и CXQ равны.

IMO Shortlist g3

ABCD - вписанный четырехугольник. M - середина дуги DC не содержащей точку A. P такова, что углы ADP и PCB равны, углы ADB и DPC равны. Докажите, что AD,BC,PM пересекаются в 1 точке