#геом_разминка
Задача. Дан выпуклый четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Известно, что окружности, вписанные в треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴𝐷𝐶 касаются друг друга. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники 𝐴𝐵𝐷 и 𝐶𝐷𝐵 также касаются друг друга.
Пусть первые снежные сугробы добавят вам новогоднего настроения ☃️
Задача. Дан выпуклый четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Известно, что окружности, вписанные в треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴𝐷𝐶 касаются друг друга. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники 𝐴𝐵𝐷 и 𝐶𝐷𝐵 также касаются друг друга.
Пусть первые снежные сугробы добавят вам новогоднего настроения ☃️
#по_факту
Доказательство какого факта можно восстановить по картинке?🦄
Пишите ваши решения и ответы в комментариях 👇
Доказательство какого факта можно восстановить по картинке?
Пишите ваши решения и ответы в комментариях 👇
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#геом_разминка
Задача. Внутри квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 взята точка 𝑃 такая, что 𝐴𝑃 : 𝐵𝑃 : 𝐶𝑃 = 1 : 2 : 3. Найдите угол 𝐴𝑃𝐵.
Пусть никакие трудности вас не пошатнут 🗿
Задача. Внутри квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 взята точка 𝑃 такая, что 𝐴𝑃 : 𝐵𝑃 : 𝐶𝑃 = 1 : 2 : 3. Найдите угол 𝐴𝑃𝐵.
Пусть никакие трудности вас не пошатнут 🗿
#геом_разминка
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол ∠𝐴 наименьший. На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 отмечены точки 𝐷 и 𝐸 соответственно таким образом, что ∠𝐶𝐵𝐸 = ∠𝐷𝐶𝐵 = ∠𝐵𝐴𝐶. Докажите, что середины отрезков 𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐵𝐸, 𝐶𝐷 лежат на одной окружности.
Пусть этот день будет раскрашен разными яркими красками 🎨
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол ∠𝐴 наименьший. На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 отмечены точки 𝐷 и 𝐸 соответственно таким образом, что ∠𝐶𝐵𝐸 = ∠𝐷𝐶𝐵 = ∠𝐵𝐴𝐶. Докажите, что середины отрезков 𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐵𝐸, 𝐶𝐷 лежат на одной окружности.
Пусть этот день будет раскрашен разными яркими красками 🎨
#геом_разминка
Задача. Пусть 𝐼 — центр вписанной окружности остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. Точки 𝑃, 𝑄, 𝑅 выбраны на сторонах 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 соответственно так, что 𝐴𝑃 = 𝐴𝑅 и 𝐵𝑃 = 𝐵𝑄, и ∠𝑃𝐼𝑄 =∠𝐵𝐴𝐶. Докажите, что 𝑄𝑅 ⊥ 𝐴𝐶.
В международный день гор, желаем вам достигнуть новых высот 🪜
Задача. Пусть 𝐼 — центр вписанной окружности остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. Точки 𝑃, 𝑄, 𝑅 выбраны на сторонах 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 соответственно так, что 𝐴𝑃 = 𝐴𝑅 и 𝐵𝑃 = 𝐵𝑄, и ∠𝑃𝐼𝑄 =∠𝐵𝐴𝐶. Докажите, что 𝑄𝑅 ⊥ 𝐴𝐶.
В международный день гор, желаем вам достигнуть новых высот 🪜
#геом_разминка
Задача. На сторонах равностороннего треугольника 𝐴𝐵𝐶 отмечены равные отрезки 𝐴₁𝐴₂ = 𝐵₁𝐵₂ = 𝐶₁𝐶₂ так как показано на рисунке. Прямые 𝐴₁𝐶₂, 𝐶₁𝐵₂, 𝐵₁𝐴₂ образуют треугольник 𝑋𝑌𝑍. Докажите, что углы треугольника, составленного из отрезков 𝐴₁𝐶₂, 𝐶₁𝐵₂, 𝐵₁𝐴₂ равны углам треугольника 𝑋𝑌𝑍.
Когда кругом все горит — примите душ и сконцентрируйтесь на главном 🛁
Задача. На сторонах равностороннего треугольника 𝐴𝐵𝐶 отмечены равные отрезки 𝐴₁𝐴₂ = 𝐵₁𝐵₂ = 𝐶₁𝐶₂ так как показано на рисунке. Прямые 𝐴₁𝐶₂, 𝐶₁𝐵₂, 𝐵₁𝐴₂ образуют треугольник 𝑋𝑌𝑍. Докажите, что углы треугольника, составленного из отрезков 𝐴₁𝐶₂, 𝐶₁𝐵₂, 𝐵₁𝐴₂ равны углам треугольника 𝑋𝑌𝑍.
Когда кругом все горит — примите душ и сконцентрируйтесь на главном 🛁
#геом_разминка
Задача. Дан квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷. Точки 𝑃 и 𝑄 лежат на 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 соответственно так, что 𝐵𝑃 = 𝐵𝑄. Пусть 𝐻 — основание перпендикуляра из точки 𝐵 на отрезок 𝑃𝐶. Докажите, что ∠𝐷𝐻𝑄 = 90°.
Задачка имеет чисто геометрическое решение без всяких отношений отрезков и, уж тем более, без декартов!
Желаем вам нестандартных и соломоновых решений сегодня👨🎓
Задача. Дан квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷. Точки 𝑃 и 𝑄 лежат на 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 соответственно так, что 𝐵𝑃 = 𝐵𝑄. Пусть 𝐻 — основание перпендикуляра из точки 𝐵 на отрезок 𝑃𝐶. Докажите, что ∠𝐷𝐻𝑄 = 90°.
Задачка имеет чисто геометрическое решение без всяких отношений отрезков и, уж тем более, без декартов!
Желаем вам нестандартных и соломоновых решений сегодня
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#геом_разминка
В прошлое воскресенье прошел третий дистанционный тур олимпиады Эйлера 👨🎓 Там была довольно занятная геомка, предлагаем вам порешать с утра ✏️
Задача. Сторона 𝐵𝐶 выпуклого четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 видна из середины 𝑀 его стороны 𝐴𝐷 под углом 90°. Биссектрисы треугольника 𝐵𝑀𝐶 пересекаются в точке 𝐼. Известно, что ∠𝐴𝐵𝑀 = ∠𝑀𝐼𝐶 и ∠𝐵𝐼𝑀 = ∠𝑀𝐶𝐷. Докажите, что 𝐴𝐼 = 𝐷𝐼.
Малоизвестно, но факт: Эйлер обладал глубоким интересом к музыке 🎵. Он даже написал работу по музыкальной теории 🎼. Желаем и вам черпать математическое вдохновение в искусстве 🎭🩰🎨
В прошлое воскресенье прошел третий дистанционный тур олимпиады Эйлера 👨🎓 Там была довольно занятная геомка, предлагаем вам порешать с утра ✏️
Задача. Сторона 𝐵𝐶 выпуклого четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 видна из середины 𝑀 его стороны 𝐴𝐷 под углом 90°. Биссектрисы треугольника 𝐵𝑀𝐶 пересекаются в точке 𝐼. Известно, что ∠𝐴𝐵𝑀 = ∠𝑀𝐼𝐶 и ∠𝐵𝐼𝑀 = ∠𝑀𝐶𝐷. Докажите, что 𝐴𝐼 = 𝐷𝐼.
Малоизвестно, но факт: Эйлер обладал глубоким интересом к музыке 🎵. Он даже написал работу по музыкальной теории 🎼. Желаем и вам черпать математическое вдохновение в искусстве 🎭🩰🎨
#геом_разминка
Одно из самых значимых математических соревнований США — Putnam Competition — состоялось на прошлой неделе 🔥 Состязание проводится для студентов-бакалавров, в нем участвуют команды из топовых университетов 🏛 Америки: MIT, Harvard, Stanford... Участники сражаются за крупные денежные суммы 💰 и престиж своей Alma mater 🎓
Сложность задач такова, что зачастую медианный результат составляет 0 или 1 балл из 120 🤯 и это при том, что в соревновании участвуют студенты-математики 👨🏫 Предлагаем и вам потягаться с нашими западными партнерами и развалить B2 Putnam Competition 2024 💪
Задача. Два четырехугольника назовем партнерами, если они имеют три общие вершины и их можно обозначить 𝐴𝐵𝐶𝐷 и 𝐴𝐵𝐶𝐸 так, что 𝐸 симметрична 𝐷 относительно серединного перпендикуляра к 𝐴𝐶. Существует ли бесконечная последовательность выпуклых четырехугольников такая, что каждый следующий четырехугольник в этой последовательности является партнером к предыдущему и в последовательности нет равных четырехугольников.
Желаем вам идти к своей цели уверенно и многа деняк 💸
Одно из самых значимых математических соревнований США — Putnam Competition — состоялось на прошлой неделе 🔥 Состязание проводится для студентов-бакалавров, в нем участвуют команды из топовых университетов 🏛 Америки: MIT, Harvard, Stanford... Участники сражаются за крупные денежные суммы 💰 и престиж своей Alma mater 🎓
Сложность задач такова, что зачастую медианный результат составляет 0 или 1 балл из 120 🤯 и это при том, что в соревновании участвуют студенты-математики 👨🏫 Предлагаем и вам потягаться с нашими западными партнерами и развалить B2 Putnam Competition 2024 💪
Задача. Два четырехугольника назовем партнерами, если они имеют три общие вершины и их можно обозначить 𝐴𝐵𝐶𝐷 и 𝐴𝐵𝐶𝐸 так, что 𝐸 симметрична 𝐷 относительно серединного перпендикуляра к 𝐴𝐶. Существует ли бесконечная последовательность выпуклых четырехугольников такая, что каждый следующий четырехугольник в этой последовательности является партнером к предыдущему и в последовательности нет равных четырехугольников.
Желаем вам идти к своей цели уверенно и многа деняк 💸
#красота_спасет_мир
Подошла к концу олимпиада ЮМШ 🥇 Публикуем задачку, которая предлагалась в девятом классе 🔥
Задача. Дан вписанный выпуклый четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Точки 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆 выбраны на прямых 𝐴𝐷, 𝐴𝐵, 𝐶𝐵, 𝐷𝐶 так, что 𝑃𝑄 ⊥ 𝐴𝐵, 𝑄𝑅 ⊥ 𝐵𝐶, 𝑅𝑆 ⊥ 𝐶𝐷 и 𝑆𝑃 ⊥ 𝐷𝐴. Оказалось, что четырёхугольники 𝑃𝑄𝑅𝑆 и 𝐴𝐵𝐶𝐷 (соответственно) подобны. Докажите, что центр описанной окружности четырёхугольника 𝑃𝑄𝑅𝑆 — это точка пересечения диагоналей 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Подошла к концу олимпиада ЮМШ 🥇 Публикуем задачку, которая предлагалась в девятом классе 🔥
Задача. Дан вписанный выпуклый четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Точки 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆 выбраны на прямых 𝐴𝐷, 𝐴𝐵, 𝐶𝐵, 𝐷𝐶 так, что 𝑃𝑄 ⊥ 𝐴𝐵, 𝑄𝑅 ⊥ 𝐵𝐶, 𝑅𝑆 ⊥ 𝐶𝐷 и 𝑆𝑃 ⊥ 𝐷𝐴. Оказалось, что четырёхугольники 𝑃𝑄𝑅𝑆 и 𝐴𝐵𝐶𝐷 (соответственно) подобны. Докажите, что центр описанной окружности четырёхугольника 𝑃𝑄𝑅𝑆 — это точка пересечения диагоналей 𝐴𝐵𝐶𝐷.
#геом_разминка
Задача. В остроугольном неравнобедренном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 биссектриса угла 𝐵𝐴𝐶 пересекает 𝐵𝐶 в 𝐷. Точка 𝑀 середина стороны 𝐵𝐶. Докажите, что прямая, проходящая через центры описанных окружностей треугольников 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴𝐷𝑀 параллельна 𝐴𝐷.
Идите навстречу приключениям, а неприятности пусть движутся параллельным курсом 💫
Задача. В остроугольном неравнобедренном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 биссектриса угла 𝐵𝐴𝐶 пересекает 𝐵𝐶 в 𝐷. Точка 𝑀 середина стороны 𝐵𝐶. Докажите, что прямая, проходящая через центры описанных окружностей треугольников 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴𝐷𝑀 параллельна 𝐴𝐷.
Идите навстречу приключениям, а неприятности пусть движутся параллельным курсом 💫
#геом_разминка
Задача. Дан параллелограмм 𝐴𝐵𝐶𝐷. На стороне 𝐴𝐷 выбрана точка 𝑋 таким образом, что ∠𝑋𝐶𝐷 = ∠𝐵𝐶𝐴. Прямые 𝐶𝑋 и 𝐴𝐵 пересеклись в точке 𝑌. Точка 𝑂 центр описанной окружности треугольника 𝐴𝑋𝑌. Докажите, что прямая 𝐶𝑂 перпендикулярна прямой 𝐵𝐷.
Желаем вам получить удовольствие от выбора подарков 🎁
Задача. Дан параллелограмм 𝐴𝐵𝐶𝐷. На стороне 𝐴𝐷 выбрана точка 𝑋 таким образом, что ∠𝑋𝐶𝐷 = ∠𝐵𝐶𝐴. Прямые 𝐶𝑋 и 𝐴𝐵 пересеклись в точке 𝑌. Точка 𝑂 центр описанной окружности треугольника 𝐴𝑋𝑌. Докажите, что прямая 𝐶𝑂 перпендикулярна прямой 𝐵𝐷.
Желаем вам получить удовольствие от выбора подарков 🎁
#геом_разминка
Задача. Вписанная окружность 𝜔 треугольника 𝐴𝐵𝐶 касается его сторон в
точках 𝐴′, 𝐵′, 𝐶′. Точки 𝐴′′, 𝐵′′, 𝐶′′ симметричны точкам 𝐴′, 𝐵′, 𝐶′ относительно диаметра 𝑙 окружности 𝜔. Докажите, что 𝐴𝐴′′, 𝐵𝐵′′, 𝐶𝐶′′ пересекаются в одной точке.
Задача. Вписанная окружность 𝜔 треугольника 𝐴𝐵𝐶 касается его сторон в
точках 𝐴′, 𝐵′, 𝐶′. Точки 𝐴′′, 𝐵′′, 𝐶′′ симметричны точкам 𝐴′, 𝐵′, 𝐶′ относительно диаметра 𝑙 окружности 𝜔. Докажите, что 𝐴𝐴′′, 𝐵𝐵′′, 𝐶𝐶′′ пересекаются в одной точке.
#геом_разминка
Задача. Дан прямоугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, точки 𝑀 – середина стороны 𝐴𝐷, 𝑁 – середина стороны 𝐵𝐶. Возьмем точку 𝑃 на продолжении 𝐶𝐷 за точку 𝐷. Обозначим точку пересечения прямых 𝑃𝑀 и 𝐴𝐶 через 𝑄. Докажите, что ∠𝑄𝑁𝑀 = ∠𝑀𝑁𝑃.
Задача. Дан прямоугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, точки 𝑀 – середина стороны 𝐴𝐷, 𝑁 – середина стороны 𝐵𝐶. Возьмем точку 𝑃 на продолжении 𝐶𝐷 за точку 𝐷. Обозначим точку пересечения прямых 𝑃𝑀 и 𝐴𝐶 через 𝑄. Докажите, что ∠𝑄𝑁𝑀 = ∠𝑀𝑁𝑃.
#геом_разминка
Задача. Дан угол с вершиной 𝑂 и окружность, касающаяся его сторон в точках 𝐴 и 𝐵. Из точки 𝐴 проведен луч, параллельный 𝑂𝐵. Он пересекается с окружностью в точке 𝐶. Отрезок 𝑂𝐶 пересекает окружность в точке 𝐸. Прямые 𝐴𝐸 и 𝑂𝐵 пересекаются в точке 𝐾. Докажите, что 𝑂𝐾 = 𝐾𝐵.
Желаем вам закрыться в этом году без долгов 👑
Задача. Дан угол с вершиной 𝑂 и окружность, касающаяся его сторон в точках 𝐴 и 𝐵. Из точки 𝐴 проведен луч, параллельный 𝑂𝐵. Он пересекается с окружностью в точке 𝐶. Отрезок 𝑂𝐶 пересекает окружность в точке 𝐸. Прямые 𝐴𝐸 и 𝑂𝐵 пересекаются в точке 𝐾. Докажите, что 𝑂𝐾 = 𝐾𝐵.
Желаем вам закрыться в этом году без долгов 👑
#геом_разминка
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведены высоты 𝐵𝐷 и 𝐶𝐸. Пусть 𝐹 и 𝐺 — точки на прямой 𝐸𝐷 такие, что 𝐵𝐹 ⊥ 𝐸𝐷 и 𝐶𝐺 ⊥ 𝐸𝐷. Докажите, что 𝐸𝐹 = 𝐷𝐺.
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведены высоты 𝐵𝐷 и 𝐶𝐸. Пусть 𝐹 и 𝐺 — точки на прямой 𝐸𝐷 такие, что 𝐵𝐹 ⊥ 𝐸𝐷 и 𝐶𝐺 ⊥ 𝐸𝐷. Докажите, что 𝐸𝐹 = 𝐷𝐺.
#геом_разминка
Задача. На сторонах 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбраны точки 𝐶', 𝐴' и 𝐵' соответственно так, что 𝐴'𝐵'𝐶'𝐵 — параллелограмм. На отрезке 𝐴'𝐶' выбрана точка 𝐷 так, что углы 𝐴𝐵'𝐷 и 𝐵'𝐷𝐶' равны. Докажите, что прямая 𝐷𝐵' делит угол 𝐴𝐷𝐶 пополам.
Желаем вам, чтобы с каждым днём света в жизни становилось всё больше ☀️
Задача. На сторонах 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбраны точки 𝐶', 𝐴' и 𝐵' соответственно так, что 𝐴'𝐵'𝐶'𝐵 — параллелограмм. На отрезке 𝐴'𝐶' выбрана точка 𝐷 так, что углы 𝐴𝐵'𝐷 и 𝐵'𝐷𝐶' равны. Докажите, что прямая 𝐷𝐵' делит угол 𝐴𝐷𝐶 пополам.
Желаем вам, чтобы с каждым днём света в жизни становилось всё больше ☀️
#геом_разминка
Задача. Чевианы 𝐴𝐴₁, 𝐵𝐵₁, 𝐶𝐶₁ треугольника 𝐴𝐵𝐶 пересекаются внутри него в точке 𝑃. Докажите, что 𝑃𝐴₁/𝐴𝐴₁ + 𝑃𝐵₁/𝐵𝐵₁ + 𝑃𝐶₁/𝐶𝐶₁ = 1.
Задача. Чевианы 𝐴𝐴₁, 𝐵𝐵₁, 𝐶𝐶₁ треугольника 𝐴𝐵𝐶 пересекаются внутри него в точке 𝑃. Докажите, что 𝑃𝐴₁/𝐴𝐴₁ + 𝑃𝐵₁/𝐵𝐵₁ + 𝑃𝐶₁/𝐶𝐶₁ = 1.
#геом_разминка
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 через вершину 𝐴 проведена прямая 𝑙, параллельная 𝐵𝐶. Биссектрисы внешних углов треугольника при вершинах 𝐵 и 𝐶 пересекают прямую 𝑙 в точках 𝑃 и 𝑄 соответственно. Перпендикуляр к 𝐵𝑃, восставленный в точке 𝑃, и перпендикуляр к 𝐶𝑄, восставленный в точке 𝑄, пересекаются в точке 𝑅. Пусть 𝐼 – точка пересечения биссектрис треугольника 𝐴𝐵𝐶. Докажите, что 𝐴𝐼 = 𝐴𝑅.
Передаем привет вам из замурчательного Стамбула 🇹🇷🐈
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 через вершину 𝐴 проведена прямая 𝑙, параллельная 𝐵𝐶. Биссектрисы внешних углов треугольника при вершинах 𝐵 и 𝐶 пересекают прямую 𝑙 в точках 𝑃 и 𝑄 соответственно. Перпендикуляр к 𝐵𝑃, восставленный в точке 𝑃, и перпендикуляр к 𝐶𝑄, восставленный в точке 𝑄, пересекаются в точке 𝑅. Пусть 𝐼 – точка пересечения биссектрис треугольника 𝐴𝐵𝐶. Докажите, что 𝐴𝐼 = 𝐴𝑅.
Передаем привет вам из замурчательного Стамбула 🇹🇷🐈