#Тезаурус
Формальное рассуждение считается правильным тогда и только тогда, когда его заключительное (возможно, единственное) правильно построенное выражение (формула), является аксиомой или правильно построенным выражением (формулой), полученным из одного или двух предыдущих по специально оговоренному правилу вывода.
Высказывание – это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается о чем-либо (какой-либо признак приписывается либо не приписывается какому-либо предмету), и которое может быть оценено как соответствующее или не соответствующее положению дел в какой-либо предметной области. Высказывания первого вида называются истинными (имеют значение Истина), а второго – ложными (имеют значение Ложь). Если какое-либо высказывание состоит из других высказываний, то оно называется сложным, в противном случае – простым.
Формальное рассуждение считается правильным тогда и только тогда, когда его заключительное (возможно, единственное) правильно построенное выражение (формула), является аксиомой или правильно построенным выражением (формулой), полученным из одного или двух предыдущих по специально оговоренному правилу вывода.
Высказывание – это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается о чем-либо (какой-либо признак приписывается либо не приписывается какому-либо предмету), и которое может быть оценено как соответствующее или не соответствующее положению дел в какой-либо предметной области. Высказывания первого вида называются истинными (имеют значение Истина), а второго – ложными (имеют значение Ложь). Если какое-либо высказывание состоит из других высказываний, то оно называется сложным, в противном случае – простым.
Какая из следующих фигур отличается от всех других чувственно не воспринимаемым (умопостигаемым) свойством? (Местоположение фигуры в ряду или, например, цвет мы будем рассматривать как чувственно воспринимаемые свойства):
Anonymous Poll
23%
1
23%
2
25%
3
8%
4
5%
5
13%
Затрудняюсь ответить
3%
Другое (можно написать в комментариях)
5 фигура отличается от других своим размером - площадью, она меньше других фигур, для того, чтобы это заметить требуется зрение, поэтому 5 фигура отличается от других чувственно воспринимаемым свойством.
4 фигура отличается от других своим цветом - она зелёная, тогда как другие - красные. Это означает, 4 фигура отличается от других чувственно воспринимаемым свойством.
Поскольку каждая фигура занимает уникальное место (никакие две фигуры НЕ находятся на одном и том же месте), постольку всякая фигура отличается от других свойством местоположения.
3 фигура отличается от других своей формой - это круг в отличие от квадратов, и это свойство также чувственно воспринимаемое.
2 фигура отличается от других отсутствием контура - также чувственно воспринимаемое свойством.
Таким образом, моя версия такова: 1 фигура отличается от всех остальных наличием умопостигаемого (чувственно не воспринимаемого) свойства - ни размер, ни цвет, ни контур, ни форма её НЕ отличают её от других фигур. Чтобы заметить это существенное отличие - требуется мышление, соотносящее все свойства между собой.
Как замечает Аристотель: "Мышление, ближайшим образом, это то, что отличает белое от сладкого".
Как замечает Аристотель: "Мышление, ближайшим образом, это то, что отличает белое от сладкого".
#Тезаурус
Высказывание – повествовательное (не побудительное и не вопросительное) предложение, которое при соотнесении с некоторой предметной областью может быть однозначно определено как соответствующее или не соответствующее положению дел в этой предметной области.
Если признак, т.е. свойство или отношение, приписываемый (отрицаемый) в высказывании предмету, в действительности у него есть (соответственно, отсутствует), то такие высказывания называются истинными, в противном случае – ложными. Истина и Ложь – это значения высказываний. Значение Истина обычно записывается знаками: «И», «и», «T», «t», «1»; значение Ложь – «Л», «л», «F», «f», «0».
Высказывание – повествовательное (не побудительное и не вопросительное) предложение, которое при соотнесении с некоторой предметной областью может быть однозначно определено как соответствующее или не соответствующее положению дел в этой предметной области.
Если признак, т.е. свойство или отношение, приписываемый (отрицаемый) в высказывании предмету, в действительности у него есть (соответственно, отсутствует), то такие высказывания называются истинными, в противном случае – ложными. Истина и Ложь – это значения высказываний. Значение Истина обычно записывается знаками: «И», «и», «T», «t», «1»; значение Ложь – «Л», «л», «F», «f», «0».
#Тезаурус
Слово (словосочетание или сложноподчиненное предложение), обозначающее предмет, о свойстве которого говорится в высказывании, или предметы, если речь идет об отношениях, называется субъектом (логическим субъектом) высказывания. Слово (словосочетание или сложноподчиненное предложение), обозначающее свойство предмета или отношение предметов в высказывании, называется предикатом. Взятые по отдельности, вне связи друг с другом в высказывании, субъект и предикат представляют собой понятия. Связь субъекта и предиката в высказывании осуществляется посредством связки. Связки бывают двух видов: утвердительные («есть») и отрицательные («не есть»). В русском языке, в отличие, например, от английского и немецкого, глагол связка «есть» в большинстве предложений опускается.
Слово (словосочетание или сложноподчиненное предложение), обозначающее предмет, о свойстве которого говорится в высказывании, или предметы, если речь идет об отношениях, называется субъектом (логическим субъектом) высказывания. Слово (словосочетание или сложноподчиненное предложение), обозначающее свойство предмета или отношение предметов в высказывании, называется предикатом. Взятые по отдельности, вне связи друг с другом в высказывании, субъект и предикат представляют собой понятия. Связь субъекта и предиката в высказывании осуществляется посредством связки. Связки бывают двух видов: утвердительные («есть») и отрицательные («не есть»). В русском языке, в отличие, например, от английского и немецкого, глагол связка «есть» в большинстве предложений опускается.
#Тезаурус
Нормальная форма формулы (для исчисления высказываний) – это формула, в которой нет никаких других пропозициональных связок (логических союзов), кроме отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, а отрицания, кроме того, располагаются только перед пропозициональными буквами (элементарными формулами).
Нормальная форма формулы называется дизъюнктивной, если она представляет собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций, и, вместе с тем, нормальная форма формулы называется конъюнктивной, если она представляет собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций.
Дизъюнктивная (конъюнктивная) нормальная форма называется совершенной, если ее каждая элементарная конъюнкция (дизъюнкция) содержит каждую пропозициональную букву данной формулы с отрицанием либо без.
Нормальная форма формулы (для исчисления высказываний) – это формула, в которой нет никаких других пропозициональных связок (логических союзов), кроме отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, а отрицания, кроме того, располагаются только перед пропозициональными буквами (элементарными формулами).
Нормальная форма формулы называется дизъюнктивной, если она представляет собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций, и, вместе с тем, нормальная форма формулы называется конъюнктивной, если она представляет собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций.
Дизъюнктивная (конъюнктивная) нормальная форма называется совершенной, если ее каждая элементарная конъюнкция (дизъюнкция) содержит каждую пропозициональную букву данной формулы с отрицанием либо без.
#ЛогическиеЗадачи
Приходит время каникул, и можно отвлечься от образовательных задач для того, чтобы отдохнуть, решая логические головоломки. Логические задачи на выяснение вопроса: «Кто есть кто?» Предметная область данных задач - персонажи, отвечающие на вопросы Главного Героя (решающего задачу) или сообщающие информацию о предметной области. Причем ответы должны быть односложными (строго да либо нет), а сообщения - высказываниями. Каждому из объектов рассматриваемой предметной области присваивается собственное имя: А, Б, В и так далее.
Приходит время каникул, и можно отвлечься от образовательных задач для того, чтобы отдохнуть, решая логические головоломки. Логические задачи на выяснение вопроса: «Кто есть кто?» Предметная область данных задач - персонажи, отвечающие на вопросы Главного Героя (решающего задачу) или сообщающие информацию о предметной области. Причем ответы должны быть односложными (строго да либо нет), а сообщения - высказываниями. Каждому из объектов рассматриваемой предметной области присваивается собственное имя: А, Б, В и так далее.
Каждый из персонажей имеет одно из свойств: 1) отвечая на любые вопросы всегда говорить только правду, т.е. произносить только истинные высказывания – людей, имеющих это свойство обычно называют рыцарями; 2) отвечая на любые вопросы всегда лгать, т.е. произносить только ложные высказывания – людей, имеющих это свойство обычно называют лжецами; 3) отвечая на любые вопросы иногда говорить правду, а иногда лгать – таких персонажей обычно называют нормальными людьми.
#ЛогическиеЗадачи
Будем говорить, что задача имеет решение, если существует единственное приписывание значений высказываниям, содержащимся в условии, которое не противоречит самим условиям; задача не имеет решения, если при приписывании любых значений высказываниям из условия задачи (при любой интерпретации) получается противоречие с условиями задачи.
Задача считается неправильно построенной, если существует два или более двух вариантов приписывания истинностных значений высказываниям персонажей, при которых выполняются все условия задачи.
Будем говорить, что задача имеет решение, если существует единственное приписывание значений высказываниям, содержащимся в условии, которое не противоречит самим условиям; задача не имеет решения, если при приписывании любых значений высказываниям из условия задачи (при любой интерпретации) получается противоречие с условиями задачи.
Задача считается неправильно построенной, если существует два или более двух вариантов приписывания истинностных значений высказываниям персонажей, при которых выполняются все условия задачи.
Доказуемость и выводимость
В формальной системе (или в формальной теории) доказательство - это непустая последовательность формул, каждая из которых является аксиомой или формулой полученной из одной или двух предыдущих по какому-нибудь правилу вывода. Последняя формула в доказательстве называется доказанной формулой или теоремой. Вывод от доказательства отличается тем, что его исходные формулы - посылки не обязательно должны быть аксиомами или теоремами, иначе понятие доказательства совпадёт с понятием выводимости.
В формальной системе (или в формальной теории) доказательство - это непустая последовательность формул, каждая из которых является аксиомой или формулой полученной из одной или двух предыдущих по какому-нибудь правилу вывода. Последняя формула в доказательстве называется доказанной формулой или теоремой. Вывод от доказательства отличается тем, что его исходные формулы - посылки не обязательно должны быть аксиомами или теоремами, иначе понятие доказательства совпадёт с понятием выводимости.
Формальные теории (исчисление высказываний, исчисление предикатов и формальную арифметику) будем считать полными, если всякая общезначимая формула в них является теоремой, и наоборот, всякая теорема является общезначимой формулой (т.е. тождественно истинной формулой на любой предметной области).
Например, выводя формулу В из формул А и Если А, то В по модусу поненс (Modus Ponens), т.е. по единственному правилу вывода для исчисления высказываний, мы получаем её как результат вывода, но формула В сама по себе вовсе не обязательно будет теоремой исчисления высказываний.
Иными словами, формула В окажется выводимой в исчислении высказываний, но не будет считаться доказуемой, или теоремой.
Иными словами, формула В окажется выводимой в исчислении высказываний, но не будет считаться доказуемой, или теоремой.
В вышеуказанном случае формула В может оказаться и теоремой, но тогда и только тогда, когда формулы А и Если А, то В тоже окажутся теоремами.
Это означает, что для исчисления высказываний и для исчисления предикатов (но, пожалуй, не для формальной арифметической системы) существуют такие формулы (пропозициональные буквы, отрицания пропозициональных букв, предикатные буквы с приданными предметными константами и без свободных переменных), которые не являются ни доказуемыми, ни противоречивыми.