۳۹
#سیاه‌چاله_۲
🔵 ما کجا اشتباه کرده‌ایم؟
🟢 درباره‌ی رفتار کاوش‌گر در نزدیکی افق روی‌داد؟
🔵 بله. ما همان استدلالی را به کار بردیم که با آن تغییر نسبی بسامد با ارتفاع را بررسی کردیم و درستی آن هم با آزمایش سنجیده شده است. بر چه اساسی می‌گویی که این استدلال برای «افق ِ روی‌داد» سیاه‌چاله نادرست ه؟
🟢 فقط به این دلیل که بعضی از نتایج شما با نظریه‌ی اینشتین نمی‌خواند و درستی این نظریه در همه‌ی رصدها و آزمایش‌ها تایید شده است. استدلال شما دو جزء دارد. یکی اصل هم‌ارزی و دیگری اثر داپلر. از کجا می‌دانی که اثر داپلر در نزدیکی افق روی‌داد سیاه‌چاله به همان کیفیتی است که در زنده‌گی روزمره تجربه می‌کنیم؟ این‌جا ساعت‌ها کار می‌کنند اما در افق روی‌داد، زمان نمی‌گذرد.
🔵 مگر کسی فیزیک نزدیک به افق روی‌داد سیاه‌چاله را به آزمایش گذاشته است؟
🟢 نه واقعا. سیاه‌چاله‌ای که موضوع بحث ما است سیاه‌چاله‌ی شوارتزشیلد ه. فضازمان در بیرون از «افق روی‌داد سیاه‌چاله‌ی شوارتزشیلد» مثل فضازمان در اطراف توده-جرمی کروی-شکل ه که به دور خود ش نمی‌چرخد.
🔵 این که واقع‌بینانه نیست. هیچ چیزی کاملا گرد نیست و اگر هم باشد ممکن نیست که به دور خود ش نچرخد. حتی اگر چنین چیزی را بتراشیم و در فضا رها کنیم، پس از برخورد با اولین کلوخ فضایی از ریخت می‌افتد و شروع به چرخش می‌کند.
🟢 درست ه. اما «روی کر» پاسخی از معادله‌های اینشتین یافته که افق روی‌داد سیاه‌چاله‌ی چرخان را توصیف می‌کند و درستی این «پیش‌بینی ِ‌نظریه» با روش‌های گوناگونی تایید شده است. چون توصیف فضازمان در نزدیکی افق روی‌داد «سیاه‌چاله‌ی کر» کمی پیچیده ست، به‌تر ه بحث مان را به سیاه‌چاله‌ی شوارتزشیلد محدود کنیم هرچند که ممکن ه همانندی در آسمان نداشته باشد.
🔵 مشتاق ام بدانم که چه طور ممکن ه کاوش‌گر در زمان متناهی از افق بگذرد اما از منظر فضاپیما هرگز به آن‌جا نرسد.
🟢 بیا برای لحظه‌ای گرانش را فراموش کنیم. فرض کن که الف با سرعت از کنار من و تو رد شود و ما اندازه‌ی جابهجایی او را بر حسب زمان اندازه بگیریم.
🔵 با سرعت ثابت؟
🟢 نه. با هر شتاب دل‌خواهی. ولی برای ساده‌گی سرعت نور را برابر یک بگیر.
🔵 یعنی به جای متر، فاصله را برحسب ثانیه‌ی نوری اندازه بگیریم.
🟢 البته ثانیه‌ی نوری عدد بزرگی ه. در این بحث باید جابه‌جایی‌های بسیار کوچک در زمان‌های بسیار کوتاه را تحلیل کنیم.
🔵 در زمان‌های بسیار کوتاه که شتاب اثری ندارد. می‌توانیم فرض کنیم سرعت او ثابت است.
🟢 درست ه. «شتاب» تاثیری بر کار ساعت‌ها ندارد. #زمان_۱۱. ولی نمی‌خواهم با تاکید بر سرعت و شتاب، کلیت بحث را خدشه‌دار کنم. قصد من این ه که برای «جابهجایی ِ بسیار کوچک ِ الف» در «بازه‌ی زمانی بسیار کوتاهی»، رابطه‌ای بین «اندازه‌ی جابهجایی از منظر ما»، «زمان سپری شده از منظر ما» و «زمان سپری شده از منظر الف» بنویسم. قاعده‌ی فیثاغورس راه‌گشا ست. از نسبیت خاص اینشتین معلوم می‌شود که «زمان سپری شده از منظر ما»، مثل طول وتر مثلثی ه که یک ضلع ش با «میزان جابهجایی الف در منظر ما» و ضلع دیگر ش با «زمان سپری شده از منظر الف» داده می‌شود. [شکل نخست را ببینید].
🔵 و در نزدیکی افق روی‌داد سیاه‌چاله؟
🟢 ما در نقش فضاپیما ایم و الف در نقش کاوش‌گر. مثل قبل، اضلاع با «میزان جابهجایی کاوش‌گر از منظر ما» و «زمان سپری شده از منظر کاوش‌گر» داده می‌شود.
🔵 پس فرق ش در وتر ش ه!
🟢 بله. از نسبیت عام اینشتین معلوم می‌شود که اندازه‌ی وتر با «زمان سپری شده در منظر کاوش‌گر» ضرب در «فاصله‌ی بین کاوش‌گر و افق روی‌داد از منظر فضاپیما» تقسیم بر «قطر افق روی‌داد سیاه‌چاله‌ی شوارتزشیلد» داده می‌شود [شکل دوم را ببینید].
🔵 ولی کاوش‌گر در حال حرکت ه و فاصله‌ش با افق تغییر می‌کند.
🟢 به همین دلیل اصرار کردم که جابه‌جایی‌های بسیار کوچک در بازه‌ی زمانی بسیار کوتاه را بررسی می‌کنیم.
🔵 قطر افق روی‌داد را چه کسی اندازه می‌گیرد؟
🟢 کسی که در دوردست‌ها ایستاده است. از منظر او، افق روی‌داد به شکل کره‌ای به شعاع معین ه. اندازه‌ی قطر افق روی‌داد برابر است با چهار برابر «جرم سیاه‌چاله» ضرب در «ثابت جهانی گرانش» تقسیم بر «مربع سرعت نور»!
#سیاه‌چاله_۲
🔵 ما کجا اشتباه کرده‌ایم؟
🟢 درباره‌ی رفتار کاوش‌گر در نزدیکی افق روی‌داد؟
🔵 بله. ما همان استدلالی را به کار بردیم که با آن تغییر نسبی بسامد با ارتفاع را بررسی کردیم و درستی آن هم با آزمایش سنجیده شده است. بر چه اساسی می‌گویی که این استدلال برای «افق ِ روی‌داد» سیاه‌چاله نادرست ه؟
🟢 فقط به این دلیل که بعضی از نتایج شما با نظریه‌ی اینشتین نمی‌خواند و درستی این نظریه در همه‌ی رصدها و آزمایش‌ها تایید شده است. استدلال شما دو جزء دارد. یکی اصل هم‌ارزی و دیگری اثر داپلر. از کجا می‌دانی که اثر داپلر در نزدیکی افق روی‌داد سیاه‌چاله به همان کیفیتی است که در زنده‌گی روزمره تجربه می‌کنیم؟ این‌جا ساعت‌ها کار می‌کنند اما در افق روی‌داد، زمان نمی‌گذرد.
🔵 مگر کسی فیزیک نزدیک به افق روی‌داد سیاه‌چاله را به آزمایش گذاشته است؟
🟢 نه واقعا. سیاه‌چاله‌ای که موضوع بحث ما است سیاه‌چاله‌ی شوارتزشیلد ه. فضازمان در بیرون از «افق روی‌داد سیاه‌چاله‌ی شوارتزشیلد» مثل فضازمان در اطراف توده-جرمی کروی-شکل ه که به دور خود ش نمی‌چرخد.
🔵 این که واقع‌بینانه نیست. هیچ چیزی کاملا گرد نیست و اگر هم باشد ممکن نیست که به دور خود ش نچرخد. حتی اگر چنین چیزی را بتراشیم و در فضا رها کنیم، پس از برخورد با اولین کلوخ فضایی از ریخت می‌افتد و شروع به چرخش می‌کند.
🟢 درست ه. اما «روی کر» پاسخی از معادله‌های اینشتین یافته که افق روی‌داد سیاه‌چاله‌ی چرخان را توصیف می‌کند و درستی این «پیش‌بینی ِ‌نظریه» با روش‌های گوناگونی تایید شده است. چون توصیف فضازمان در نزدیکی افق روی‌داد «سیاه‌چاله‌ی کر» کمی پیچیده ست، به‌تر ه بحث مان را به سیاه‌چاله‌ی شوارتزشیلد محدود کنیم هرچند که ممکن ه همانندی در آسمان نداشته باشد.
🔵 مشتاق ام بدانم که چه طور ممکن ه کاوش‌گر در زمان متناهی از افق بگذرد اما از منظر فضاپیما هرگز به آن‌جا نرسد.
🟢 بیا برای لحظه‌ای گرانش را فراموش کنیم. فرض کن که الف با سرعت از کنار من و تو رد شود و ما اندازه‌ی جابهجایی او را بر حسب زمان اندازه بگیریم.
🔵 با سرعت ثابت؟
🟢 نه. با هر شتاب دل‌خواهی. ولی برای ساده‌گی سرعت نور را برابر یک بگیر.
🔵 یعنی به جای متر، فاصله را برحسب ثانیه‌ی نوری اندازه بگیریم.
🟢 البته ثانیه‌ی نوری عدد بزرگی ه. در این بحث باید جابه‌جایی‌های بسیار کوچک در زمان‌های بسیار کوتاه را تحلیل کنیم.
🔵 در زمان‌های بسیار کوتاه که شتاب اثری ندارد. می‌توانیم فرض کنیم سرعت او ثابت است.
🟢 درست ه. «شتاب» تاثیری بر کار ساعت‌ها ندارد. #زمان_۱۱. ولی نمی‌خواهم با تاکید بر سرعت و شتاب، کلیت بحث را خدشه‌دار کنم. قصد من این ه که برای «جابهجایی ِ بسیار کوچک ِ الف» در «بازه‌ی زمانی بسیار کوتاهی»، رابطه‌ای بین «اندازه‌ی جابهجایی از منظر ما»، «زمان سپری شده از منظر ما» و «زمان سپری شده از منظر الف» بنویسم. قاعده‌ی فیثاغورس راه‌گشا ست. از نسبیت خاص اینشتین معلوم می‌شود که «زمان سپری شده از منظر ما»، مثل طول وتر مثلثی ه که یک ضلع ش با «میزان جابهجایی الف در منظر ما» و ضلع دیگر ش با «زمان سپری شده از منظر الف» داده می‌شود. [شکل نخست را ببینید].
🔵 و در نزدیکی افق روی‌داد سیاه‌چاله؟
🟢 ما در نقش فضاپیما ایم و الف در نقش کاوش‌گر. مثل قبل، اضلاع با «میزان جابهجایی کاوش‌گر از منظر ما» و «زمان سپری شده از منظر کاوش‌گر» داده می‌شود.
🔵 پس فرق ش در وتر ش ه!
🟢 بله. از نسبیت عام اینشتین معلوم می‌شود که اندازه‌ی وتر با «زمان سپری شده در منظر کاوش‌گر» ضرب در «فاصله‌ی بین کاوش‌گر و افق روی‌داد از منظر فضاپیما» تقسیم بر «قطر افق روی‌داد سیاه‌چاله‌ی شوارتزشیلد» داده می‌شود [شکل دوم را ببینید].
🔵 ولی کاوش‌گر در حال حرکت ه و فاصله‌ش با افق تغییر می‌کند.
🟢 به همین دلیل اصرار کردم که جابه‌جایی‌های بسیار کوچک در بازه‌ی زمانی بسیار کوتاه را بررسی می‌کنیم.
🔵 قطر افق روی‌داد را چه کسی اندازه می‌گیرد؟
🟢 کسی که در دوردست‌ها ایستاده است. از منظر او، افق روی‌داد به شکل کره‌ای به شعاع معین ه. اندازه‌ی قطر افق روی‌داد برابر است با چهار برابر «جرم سیاه‌چاله» ضرب در «ثابت جهانی گرانش» تقسیم بر «مربع سرعت نور»!
۴۰
سیاه‌چاله-۳
🟢 در چارچوب نسبیت عام اینشتین، دانستن رابطه‌ی بین «میزان جابهجایی از منظر ما»، «زمان سپری شده از منظر ما»، و «زمان سپری شده از منظر کاوش‌گر» هم‌ارز دانستن هندسه‌ی فضازمان است.
🔵 یعنی در نظریه‌های دیگر، این اطلاعات کافی نیست؟
🟢 نام آن چه که ما توصیف کردیم، «متریک» ه. به جز دانستن متریک، یعنی به جز دانستن رابطه‌ی بین اندازه‌ی جابهجایی و زمان‌های سپری شده، باید معنای توازی دو بردار را هم روشن کنیم. در نسبیت عام، توازی بر پایه‌ی متریک تعریف می‌شود.
🔵 اگر بخواهیم به جای کاوش‌گر، رفتار نور را بررسی کنیم چه کار باید بکنیم؟
🟢 باز هم متریک را به کار می‌بریم.
🔵 نمی‌شود. چون متریک را با مثلثی توصیف کردیم که یک ضلع ش «زمان سپری شده در کاوش‌گر» است. اگر بخواهیم رفتار نور را بررسی کنیم، تنها چیزهایی که می‌دانیم «میزان جابهجایی جبهه‌ی نوراز منظر ما» و «زمان سپری شده از منظر ما» است. هیچ ساعتی هم‌راه پرتو نور حرکت نمی‌کند که «زمان سپری شده در منظر پرتو» را اندازه بگیرد. اصلا ترکیب «منظر پرتو» بی‌معنا است.
🟢 درست ه. باید طول آن ضلع را برابر با صفر بگذاریم. مثلا در فضای مینکوفسکی که نظیر شکل اول در گفتگوی پیشین ما است، «اندازه‌ی جابهجایی نور در منظر ما» برابر است با «زمان سپری شده از منظر ما».
🔵 چون سرعت نور را برابر با یک گرفتیم و فاصله را مثلا با ثانیه‌ی نوری سنجیدیم.
🟢 بله. از دومین شکل گفتگوی پیشین ما پیدا است که در نزدیکی افق روی‌داد سیاه‌چاله‌ی شوارتزشیلد، «اندازه‌ی جابهجایی جبهه‌ی نور از منظر فضاپیما» برابر است با «زمان سپری شده از منظر فضاپیما» ضرب در «فاصله‌ی لحظه‌ای ِ پرتو تا افق» تقسیم بر قطر سیاه‌چاله!
🔵 مگر تعریف سرعت، «جابهجایی بخش بر زمان» نیست؟
🟢 هست.
🔵 می‌گویی که از منظر فضاپیما، اندازه‌ی سرعت پیش‌روی جبهه‌ی نور به سوی افق روی‌داد برابر است با «فاصله‌ی جبهه‌ی نور از افق» تقسیم بر «قطر سیاه‌چاله»؟
🟢 بله.
🔵 ولی فضاپیما در نزدیکی افق مستقر شده. پس این نسبت از عدد یک کوچک‌تر ه! روی خود افق، صفر ه.
🟢 برای همین ه که در منظر فضاپیما، هیچ پرتو نوری به افق نمی‌رسد [نمودار را ببینید] و چون نور، به هر حال، سریع‌تر از کاوش‌گر حرکت می‌کند، کاوش‌گر هم از افق رد نمی‌شود.
سیاه‌چاله-۳
🟢 در چارچوب نسبیت عام اینشتین، دانستن رابطه‌ی بین «میزان جابهجایی از منظر ما»، «زمان سپری شده از منظر ما»، و «زمان سپری شده از منظر کاوش‌گر» هم‌ارز دانستن هندسه‌ی فضازمان است.
🔵 یعنی در نظریه‌های دیگر، این اطلاعات کافی نیست؟
🟢 نام آن چه که ما توصیف کردیم، «متریک» ه. به جز دانستن متریک، یعنی به جز دانستن رابطه‌ی بین اندازه‌ی جابهجایی و زمان‌های سپری شده، باید معنای توازی دو بردار را هم روشن کنیم. در نسبیت عام، توازی بر پایه‌ی متریک تعریف می‌شود.
🔵 اگر بخواهیم به جای کاوش‌گر، رفتار نور را بررسی کنیم چه کار باید بکنیم؟
🟢 باز هم متریک را به کار می‌بریم.
🔵 نمی‌شود. چون متریک را با مثلثی توصیف کردیم که یک ضلع ش «زمان سپری شده در کاوش‌گر» است. اگر بخواهیم رفتار نور را بررسی کنیم، تنها چیزهایی که می‌دانیم «میزان جابهجایی جبهه‌ی نوراز منظر ما» و «زمان سپری شده از منظر ما» است. هیچ ساعتی هم‌راه پرتو نور حرکت نمی‌کند که «زمان سپری شده در منظر پرتو» را اندازه بگیرد. اصلا ترکیب «منظر پرتو» بی‌معنا است.
🟢 درست ه. باید طول آن ضلع را برابر با صفر بگذاریم. مثلا در فضای مینکوفسکی که نظیر شکل اول در گفتگوی پیشین ما است، «اندازه‌ی جابهجایی نور در منظر ما» برابر است با «زمان سپری شده از منظر ما».
🔵 چون سرعت نور را برابر با یک گرفتیم و فاصله را مثلا با ثانیه‌ی نوری سنجیدیم.
🟢 بله. از دومین شکل گفتگوی پیشین ما پیدا است که در نزدیکی افق روی‌داد سیاه‌چاله‌ی شوارتزشیلد، «اندازه‌ی جابهجایی جبهه‌ی نور از منظر فضاپیما» برابر است با «زمان سپری شده از منظر فضاپیما» ضرب در «فاصله‌ی لحظه‌ای ِ پرتو تا افق» تقسیم بر قطر سیاه‌چاله!
🔵 مگر تعریف سرعت، «جابهجایی بخش بر زمان» نیست؟
🟢 هست.
🔵 می‌گویی که از منظر فضاپیما، اندازه‌ی سرعت پیش‌روی جبهه‌ی نور به سوی افق روی‌داد برابر است با «فاصله‌ی جبهه‌ی نور از افق» تقسیم بر «قطر سیاه‌چاله»؟
🟢 بله.
🔵 ولی فضاپیما در نزدیکی افق مستقر شده. پس این نسبت از عدد یک کوچک‌تر ه! روی خود افق، صفر ه.
🟢 برای همین ه که در منظر فضاپیما، هیچ پرتو نوری به افق نمی‌رسد [نمودار را ببینید] و چون نور، به هر حال، سریع‌تر از کاوش‌گر حرکت می‌کند، کاوش‌گر هم از افق رد نمی‌شود.
سلام. امیدوار ام که شاد و تندرست باشید. لطفا در این نظرپرسی درباره‌ی گفتگوهای کانال شرکت کنید و همه‌ی گزینه‌هایی که مناسب است را علامت بزنید. می‌توانید چند گزینه را انتخاب کنید.
Final Results
25%
فقط مطالبی را که به آن علاقه‌مند ام یا به کار و درس م مربوط است با حوصله می‌خوانم.
43%
گاهی پس از خواندن مطلبی، در منابع دیگری نیز درباره‌ی آن می‌خوانم.
29%
اگر مطلبی را متوجه نشوم، سراغ مطلب بعدی می‌روم.
39%
می‌خوانم اما حوصله سوال و بحث ندارم.
21%
می‌خوانم و دوست دارم سوال بپرسم و نظر بدهم، اما فضای گروه را نمی‌پسندم.
12%
می‌خوانم و دوست دارم سوال بپرسم و نظر بدهم اما نحوه‌ی پاسخ‌گویی را نمی‌پسندم.
۴۱
#شتاب_۳
🔵 اگر گرانش را نادیده بگیریم، فیزیک با نسبیت خاص اینشتین داده می‌شود. در نسبیت خاص می‌پذیریم که بعضی‌ها «ناظر لَخت» اند یعنی حرکت شان هم‌واره بی‌شتاب ه و بعضی‌ها هم «ناظر نالخت» اند یعنی سرعت حرکت‌شان در طول زمان ثابت نیست.
🟢 درست ه.
🔵 خب دو نفر را در نظر بگیر؛ مثلا الف و ب. فرض کن که سرعت حرکت آن‌ها نسبت به هم ثابت نیست. کدام شان ناظر لخت است؟
🟢 فرض کن که توپی در فضا معلق است و هیچ نیرویی به آن وارد نمی‌شود. اگر کسی ببیند که سرعت توپ متغیر است، خود او شتاب دارد.
🔵 می‌گویی که نیرو علت شتاب ه. پس اگر نیرویی نیست، نباید شتابی هم باشد. و اگر کسی در نبود نیروها، شتاب ناصفری را اندازه گرفت ایراد از خود او است!
🟢 این هم تعبیری ه! البته ناظرهای لخت و نالخت، درک متفاوتی از فضازمان دارند. فرض کن الف و ب در کنار هم ایستاده‌اند. در لحظه‌ای، مثلا در زمان صفر، الف با شتاب به حرکت در می‌آید. برای ساده‌گی، فرض کن شتاب الف، البته در منظر خود ش، (#شتاب_۱) هم‌واره ثابت است. شکل را ببین.
🔵 چه طوری این شکل را می‌کشی؟
🟢 طبق معمول، جابهجایی را بر حسب زمان رسم می‌کنم. محور افقی، زمان را نشان می‌دهد و محور عمودی، جابهجایی را. ب ساکن ه پس مسیر حرکت ش در فضازمان، (جهان‌خط)، با خطی افقی (سرخ رنگ) داده می‌شود.
🔵 چون او فقط در زمان جابه‌جا می‌شود نه در فضا.
🟢 دقیقا. اما سرعت نور ثابت ه پس جهان‌خط ش با خط راست موربی نمایش داده می‌شود؛ چون ما سرعت نور را برابر با یک می‌گیریم، میزان جابهجایی پرتو در فضا برابر است با زمان سپری شده. در شکل ما، خط‌های نارنجی و بنفش نماینده‌ی جهان‌خط‌های دو پرتو نور اند.
🔵 یعنی شیب جهان‌خط ِ پرتو، نظیر ۴۵ درجه است.
🟢 ویژه‌شتاب ِ الف، یعنی اندازه‌ی شتاب در منظر خود ش (#شتاب_۱)، ثابت ه، پس جهان خط ش (آبی رنگ) هذلولی ه.
🔵 اگر ویژه‌شتاب ِ الف هم‌واره ثابت ه، بعد از مدتی الف به سرعت نور می‌رسد.
🟢 البته نه در زمان متناهی. حالا پرتو نوری را در نظر بگیر که به مسیر حرکت الف مماس است.
🔵 یعنی جهان‌خط نارنجی.
🟢 درست ه. به نقطه‌ی تلاقی جهان‌خط ِ ب (سرخ‌رنگ) و جهان‌خط آن پرتو دقت کن.
🔵 آن جهان‌خط، نظیر آخرین پرتو نوری ه که از ب به الف می‌رسد. آن هم در آخر دنیا!
🟢 از همین نکته معلوم می‌شود که از منظر الف، بی‌اندازه طول می‌کشد تا ب به نقطه‌ی تلاقی برسد؛ هرچند از منظر ِ خود ِ ب، او در زمان متناهی از نقطه‌ی تلاقی رد می‌شود و به بخشی از فضازمان پا می‌گذارد که برای همیشه از منظر الف پنهان است.
🔵 روشن ه. الف هیچ وقت پرتو نور بنفش را نمی‌بیند!
#شتاب_۳
🔵 اگر گرانش را نادیده بگیریم، فیزیک با نسبیت خاص اینشتین داده می‌شود. در نسبیت خاص می‌پذیریم که بعضی‌ها «ناظر لَخت» اند یعنی حرکت شان هم‌واره بی‌شتاب ه و بعضی‌ها هم «ناظر نالخت» اند یعنی سرعت حرکت‌شان در طول زمان ثابت نیست.
🟢 درست ه.
🔵 خب دو نفر را در نظر بگیر؛ مثلا الف و ب. فرض کن که سرعت حرکت آن‌ها نسبت به هم ثابت نیست. کدام شان ناظر لخت است؟
🟢 فرض کن که توپی در فضا معلق است و هیچ نیرویی به آن وارد نمی‌شود. اگر کسی ببیند که سرعت توپ متغیر است، خود او شتاب دارد.
🔵 می‌گویی که نیرو علت شتاب ه. پس اگر نیرویی نیست، نباید شتابی هم باشد. و اگر کسی در نبود نیروها، شتاب ناصفری را اندازه گرفت ایراد از خود او است!
🟢 این هم تعبیری ه! البته ناظرهای لخت و نالخت، درک متفاوتی از فضازمان دارند. فرض کن الف و ب در کنار هم ایستاده‌اند. در لحظه‌ای، مثلا در زمان صفر، الف با شتاب به حرکت در می‌آید. برای ساده‌گی، فرض کن شتاب الف، البته در منظر خود ش، (#شتاب_۱) هم‌واره ثابت است. شکل را ببین.
🔵 چه طوری این شکل را می‌کشی؟
🟢 طبق معمول، جابهجایی را بر حسب زمان رسم می‌کنم. محور افقی، زمان را نشان می‌دهد و محور عمودی، جابهجایی را. ب ساکن ه پس مسیر حرکت ش در فضازمان، (جهان‌خط)، با خطی افقی (سرخ رنگ) داده می‌شود.
🔵 چون او فقط در زمان جابه‌جا می‌شود نه در فضا.
🟢 دقیقا. اما سرعت نور ثابت ه پس جهان‌خط ش با خط راست موربی نمایش داده می‌شود؛ چون ما سرعت نور را برابر با یک می‌گیریم، میزان جابهجایی پرتو در فضا برابر است با زمان سپری شده. در شکل ما، خط‌های نارنجی و بنفش نماینده‌ی جهان‌خط‌های دو پرتو نور اند.
🔵 یعنی شیب جهان‌خط ِ پرتو، نظیر ۴۵ درجه است.
🟢 ویژه‌شتاب ِ الف، یعنی اندازه‌ی شتاب در منظر خود ش (#شتاب_۱)، ثابت ه، پس جهان خط ش (آبی رنگ) هذلولی ه.
🔵 اگر ویژه‌شتاب ِ الف هم‌واره ثابت ه، بعد از مدتی الف به سرعت نور می‌رسد.
🟢 البته نه در زمان متناهی. حالا پرتو نوری را در نظر بگیر که به مسیر حرکت الف مماس است.
🔵 یعنی جهان‌خط نارنجی.
🟢 درست ه. به نقطه‌ی تلاقی جهان‌خط ِ ب (سرخ‌رنگ) و جهان‌خط آن پرتو دقت کن.
🔵 آن جهان‌خط، نظیر آخرین پرتو نوری ه که از ب به الف می‌رسد. آن هم در آخر دنیا!
🟢 از همین نکته معلوم می‌شود که از منظر الف، بی‌اندازه طول می‌کشد تا ب به نقطه‌ی تلاقی برسد؛ هرچند از منظر ِ خود ِ ب، او در زمان متناهی از نقطه‌ی تلاقی رد می‌شود و به بخشی از فضازمان پا می‌گذارد که برای همیشه از منظر الف پنهان است.
🔵 روشن ه. الف هیچ وقت پرتو نور بنفش را نمی‌بیند!
Rindler.jpg
17.9 KB
نمودار با نرم‌افزار میپل رسم شده است.
۴۲
#تمام‌نگاری_۱
🔵 فرض کن الف (جهان‌خط آبی) هم‌واره با شتاب ثابتی (در منظر خود ش #شتاب_۱) در حرکت است. مسیر حرکت او آن‌چنان است که در لحظه‌ی صفر با ب (جهان‌خط سرخ) که ساکن نشسته ملاقات می‌کند و بعد، راه آمده را برمی‌گردد. از منظر الف، جهان به افقی نورگونه (جهان‌خط نارنجی) ختم می‌شود. شکل را ببینید.
🟠 منظور ت از افق چی ه؟
🔵 الف برای همیشه از اتفاق‌های سمت ِ راست ِ جهان‌خط ِ نارنجی بی‌خبر می‌ماند، چون هیچ پرتو نوری از آن ناحیه به او نمی‌رسد. برای نمونه، پرتو بنفش را ببین.
🔴 و از منظر الف، چیزی هم از افق رد نمی‌شود. چون آخرین پرتو نوری که از آن چیز به او می‌رسد، نظیر ِ جهان‌خط ِ نارنجی ه که آن هم در آخر دنیا به او می‌رسد!
🟠 اما الف می‌تواند با جهان پشت افق ارتباط برقرار کند. مثلا با پرتو نوری که با جهان‌خط سبز نمایش می‌دهم.
🔵 البته ارتباط یک‌سویه! پیام رادیویی سبزرنگ به ب می‌رسد اما پاسخ ب، (پیام رادیویی بنفش) هرگز به الف نمی‌رسد.
🔴 از منظر الف، هر چیزی که از سمت ِ چپ ِ افق ِ نارنجی رنگ به آن نزدیک می‌شود روی آن تلنبار می‌شود.
🔵 حرکت از چپ به راست هم که اجباری ه. چون نظیر ِ گذر ِ زمان ه و متوقف نمی‌شود.
🟠 یعنی از منظر الف، همه‌ی آن اخبار و اطلاعات روی افق ذخیره می‌شود؟
🔵 ظاهراً.
🟠 محتوای پیام بنفش چه؟ به هر حال پیام سبز به ب رسیده و او هم پاسخی داده است. آیا خبر ِ آن هم روی افق نشسته است؟
🔵 به نظر م.
🟠 با این حساب باید در منظر الف اتفاق‌هایی روی افق بیفتد که هم‌ارز آن چیزهایی باشد که از منظر ب در پشت افق رخ می‌دهد.
🔴 به نظر شما ظرفیت حافظه‌ی افق چه‌قدر است؟ حداکثر چند گیگابایت اطلاعات روی هر واحد از طول آن ذخیره می‌شود؟
🔵 فکر نمی‌کنم «بی‌نهایت» پاسخ مناسبی باشد. اما اگر نهایتی داشته باشد، باید بپرسیم که اگر همه‌ی ظرفیت ش پر شد، چه بر سر «بیت» بعدی می‌آید!
🟠 شاید هم باید بپرسیم که بیت بعدی چه بلایی بر سر فضازمان می‌آورد!
#تمام‌نگاری_۱
🔵 فرض کن الف (جهان‌خط آبی) هم‌واره با شتاب ثابتی (در منظر خود ش #شتاب_۱) در حرکت است. مسیر حرکت او آن‌چنان است که در لحظه‌ی صفر با ب (جهان‌خط سرخ) که ساکن نشسته ملاقات می‌کند و بعد، راه آمده را برمی‌گردد. از منظر الف، جهان به افقی نورگونه (جهان‌خط نارنجی) ختم می‌شود. شکل را ببینید.
🟠 منظور ت از افق چی ه؟
🔵 الف برای همیشه از اتفاق‌های سمت ِ راست ِ جهان‌خط ِ نارنجی بی‌خبر می‌ماند، چون هیچ پرتو نوری از آن ناحیه به او نمی‌رسد. برای نمونه، پرتو بنفش را ببین.
🔴 و از منظر الف، چیزی هم از افق رد نمی‌شود. چون آخرین پرتو نوری که از آن چیز به او می‌رسد، نظیر ِ جهان‌خط ِ نارنجی ه که آن هم در آخر دنیا به او می‌رسد!
🟠 اما الف می‌تواند با جهان پشت افق ارتباط برقرار کند. مثلا با پرتو نوری که با جهان‌خط سبز نمایش می‌دهم.
🔵 البته ارتباط یک‌سویه! پیام رادیویی سبزرنگ به ب می‌رسد اما پاسخ ب، (پیام رادیویی بنفش) هرگز به الف نمی‌رسد.
🔴 از منظر الف، هر چیزی که از سمت ِ چپ ِ افق ِ نارنجی رنگ به آن نزدیک می‌شود روی آن تلنبار می‌شود.
🔵 حرکت از چپ به راست هم که اجباری ه. چون نظیر ِ گذر ِ زمان ه و متوقف نمی‌شود.
🟠 یعنی از منظر الف، همه‌ی آن اخبار و اطلاعات روی افق ذخیره می‌شود؟
🔵 ظاهراً.
🟠 محتوای پیام بنفش چه؟ به هر حال پیام سبز به ب رسیده و او هم پاسخی داده است. آیا خبر ِ آن هم روی افق نشسته است؟
🔵 به نظر م.
🟠 با این حساب باید در منظر الف اتفاق‌هایی روی افق بیفتد که هم‌ارز آن چیزهایی باشد که از منظر ب در پشت افق رخ می‌دهد.
🔴 به نظر شما ظرفیت حافظه‌ی افق چه‌قدر است؟ حداکثر چند گیگابایت اطلاعات روی هر واحد از طول آن ذخیره می‌شود؟
🔵 فکر نمی‌کنم «بی‌نهایت» پاسخ مناسبی باشد. اما اگر نهایتی داشته باشد، باید بپرسیم که اگر همه‌ی ظرفیت ش پر شد، چه بر سر «بیت» بعدی می‌آید!
🟠 شاید هم باید بپرسیم که بیت بعدی چه بلایی بر سر فضازمان می‌آورد!
۴۳
خبر-۵
🔵 تیله‌ای را در نظر بگیر که در لحظه‌ی صفر در جای معینی از فضا، سرعت معینی دارد.
🟠 منظور ت از معین چی ه؟
🔵 یعنی می‌دانیم وقتی که آن‌جا است، سرعت ش چه‌قدر ه!
🟠 چه‌طوری بدانیم؟ فرض کن من با نوک قلم دو تا نقطه روی کاغذ بگذارم و از تو بخواهم فاصله‌ی بین آن‌ها را اندازه بگیری. چه کار می‌کنی؟
🔵 یک خط‌کش بر می‌دارم.
🟠 اما روی خط‌کش معمولی فقط تا میلی‌متر علامت‌گذاری شده است.
🔵 خب از خط‌کشی استفاده می‌کنم که دقت ش از میلی‌متر بیش‌تر باشد.
🟠 چه‌قدر دقیق‌تر؟
🔵 می‌دانم منظور ت چی ه. من نمی‌توانم جای تیله را دقیقا تعیین کنم. در تعیین سرعت ش هم خطایی دارم. پس بگذار صورت مسئله را تغییر بدهم. من تیله‌ای دارم که می‌دانم در لحظه‌ی صفر، حدودا کجا ست و سرعت ش تقریبا چه‌قدر ه!
🟠 خب؟
🔵 خب همه‌ی طرح م به هم ریخت. می‌خواستم بگویم از مکانیک نیوتنی می‌دانیم آخر و عاقبت تیله چی ه. اما انگار چیز چندانی نمی‌دانیم. فقط می‌توانیم بگوییم که در هر لحظه حدودا کجا است و سرعت ش تقریبا چه‌قدر ه.
🟠 چیزهای بیش‌تری می‌دانیم. ما می‌دانیم که تیله در لحظه‌ی صفر دور و اطراف کدام نقطه است و می‌توانیم حجم آن ناحیه را تعیین کنیم. اسم ش را می‌گذاریم حجم ناحیه‌ی خطای مکان در لحظه‌ی صفر. هم‌چنین می‌دانیم که سرعت ش حدودا چه‌قدر ه. مثلا صد واحد سرعت به طرف شرق با خطای به‌علاوه/منهای یک واحد، صفر واحد به سمت جنوب با خطای به‌علاوه/منهای دو واحد، و صفر واحد به سوی بالا با خطای به‌علاوه/منهای سه واحد.
🔵 یعنی تیله عملا به سمت شرق می‌رود ولی ممکن ه اندکی هم در راستای بالا-پایین یا شمال-جنوب سرعت داشته باشد.
🟠 درست ه. به ناحیه‌ی خطای سرعت هم حجمی نسبت می‌دهیم. یعنی حاصل ضرب خطا در سه راستا را حساب می‌کنیم که در این مثال می‌شود ۲x۴x۶=۴۸. از مکانیک نیوتنی معلوم می‌شود که حاصل ضرب «حجم ناحیه‌ی خطای مکان» در «حجم ناحیه‌ی خطای سرعت» در طول زمان ثابت ه.
🔵 پس همیشه می‌دانیم که تیله حدودا کجا است و سرعت ش تقریبا چه‌قدر ه!
🟠 نه واقعا. برای ساده‌گی فرض کن حرکت فقط در یک راستا است. ناحیه‌ی خطای مکان مثل پاره‌خط ه. ناحیه‌ی خطای سرعت هم مثل پاره‌خط ه. کل ناحیه‌ی خطا مثل مستطیل ه (شکل ۱ را ببینید).
🔵 پس به جای «حجم»، «سطح» ناحیه‌ی خطا موضوع تحلیل ما است.
🟠 حالا فرض کن به تیله‌ای که پایین تپه‌ای قرار گرفته ضربه بزنیم به ترتیبی که از تپه بالا برود ولی به قله نرسد. هر خطای بسیار کوچکی در تعیین محل اولیه‌ی تیله و سرعت اولیه‌ش، نتیجه را عوض نمی‌کند. تیله حداکثر تا بالای تپه، تا نزدیکی قله می‌رود و برمی‌گردد اما اگر اندازه‌ی خطا کمی بزرگ‌تر شود، تیله از قله رد می‌شود و معلوم نیست تا کجا برود (شکل ۲ را ببینید).
🔵 اما گفتی سطح کل ناحیه‌ی خطا ثابت ه!
🟠 درست ه. در این مثال، شکل ناحیه‌ی خطا در لحظه‌ی صفر شبیه مستطیل ه. با گذشت زمان یک گوشه‌ی مستطیل مثل سوزنی کشیده می‌شود (نظیر عبور تیله از قله) و هر چه بلندتر می‌شود (نظیر دورتر رفتن آن تیله) تیزتر هم می‌شود جوری که اندازه‌ی کل سطح تغییر نکند (شکل ۳ را ببینید).
خبر-۵
🔵 تیله‌ای را در نظر بگیر که در لحظه‌ی صفر در جای معینی از فضا، سرعت معینی دارد.
🟠 منظور ت از معین چی ه؟
🔵 یعنی می‌دانیم وقتی که آن‌جا است، سرعت ش چه‌قدر ه!
🟠 چه‌طوری بدانیم؟ فرض کن من با نوک قلم دو تا نقطه روی کاغذ بگذارم و از تو بخواهم فاصله‌ی بین آن‌ها را اندازه بگیری. چه کار می‌کنی؟
🔵 یک خط‌کش بر می‌دارم.
🟠 اما روی خط‌کش معمولی فقط تا میلی‌متر علامت‌گذاری شده است.
🔵 خب از خط‌کشی استفاده می‌کنم که دقت ش از میلی‌متر بیش‌تر باشد.
🟠 چه‌قدر دقیق‌تر؟
🔵 می‌دانم منظور ت چی ه. من نمی‌توانم جای تیله را دقیقا تعیین کنم. در تعیین سرعت ش هم خطایی دارم. پس بگذار صورت مسئله را تغییر بدهم. من تیله‌ای دارم که می‌دانم در لحظه‌ی صفر، حدودا کجا ست و سرعت ش تقریبا چه‌قدر ه!
🟠 خب؟
🔵 خب همه‌ی طرح م به هم ریخت. می‌خواستم بگویم از مکانیک نیوتنی می‌دانیم آخر و عاقبت تیله چی ه. اما انگار چیز چندانی نمی‌دانیم. فقط می‌توانیم بگوییم که در هر لحظه حدودا کجا است و سرعت ش تقریبا چه‌قدر ه.
🟠 چیزهای بیش‌تری می‌دانیم. ما می‌دانیم که تیله در لحظه‌ی صفر دور و اطراف کدام نقطه است و می‌توانیم حجم آن ناحیه را تعیین کنیم. اسم ش را می‌گذاریم حجم ناحیه‌ی خطای مکان در لحظه‌ی صفر. هم‌چنین می‌دانیم که سرعت ش حدودا چه‌قدر ه. مثلا صد واحد سرعت به طرف شرق با خطای به‌علاوه/منهای یک واحد، صفر واحد به سمت جنوب با خطای به‌علاوه/منهای دو واحد، و صفر واحد به سوی بالا با خطای به‌علاوه/منهای سه واحد.
🔵 یعنی تیله عملا به سمت شرق می‌رود ولی ممکن ه اندکی هم در راستای بالا-پایین یا شمال-جنوب سرعت داشته باشد.
🟠 درست ه. به ناحیه‌ی خطای سرعت هم حجمی نسبت می‌دهیم. یعنی حاصل ضرب خطا در سه راستا را حساب می‌کنیم که در این مثال می‌شود ۲x۴x۶=۴۸. از مکانیک نیوتنی معلوم می‌شود که حاصل ضرب «حجم ناحیه‌ی خطای مکان» در «حجم ناحیه‌ی خطای سرعت» در طول زمان ثابت ه.
🔵 پس همیشه می‌دانیم که تیله حدودا کجا است و سرعت ش تقریبا چه‌قدر ه!
🟠 نه واقعا. برای ساده‌گی فرض کن حرکت فقط در یک راستا است. ناحیه‌ی خطای مکان مثل پاره‌خط ه. ناحیه‌ی خطای سرعت هم مثل پاره‌خط ه. کل ناحیه‌ی خطا مثل مستطیل ه (شکل ۱ را ببینید).
🔵 پس به جای «حجم»، «سطح» ناحیه‌ی خطا موضوع تحلیل ما است.
🟠 حالا فرض کن به تیله‌ای که پایین تپه‌ای قرار گرفته ضربه بزنیم به ترتیبی که از تپه بالا برود ولی به قله نرسد. هر خطای بسیار کوچکی در تعیین محل اولیه‌ی تیله و سرعت اولیه‌ش، نتیجه را عوض نمی‌کند. تیله حداکثر تا بالای تپه، تا نزدیکی قله می‌رود و برمی‌گردد اما اگر اندازه‌ی خطا کمی بزرگ‌تر شود، تیله از قله رد می‌شود و معلوم نیست تا کجا برود (شکل ۲ را ببینید).
🔵 اما گفتی سطح کل ناحیه‌ی خطا ثابت ه!
🟠 درست ه. در این مثال، شکل ناحیه‌ی خطا در لحظه‌ی صفر شبیه مستطیل ه. با گذشت زمان یک گوشه‌ی مستطیل مثل سوزنی کشیده می‌شود (نظیر عبور تیله از قله) و هر چه بلندتر می‌شود (نظیر دورتر رفتن آن تیله) تیزتر هم می‌شود جوری که اندازه‌ی کل سطح تغییر نکند (شکل ۳ را ببینید).
en.wikiversity.org
Advanced Classical Mechanics/Liouville's theorem
Subject classification: this is a mathematics resource.
۴۴
خبر-۶
🔵 در بحث قبلی، آن بخش ِ نوک‌تیز ِ «شکل ۳»، نماینده‌ی حالت‌هایی ه که تیله از تپه رد شده است؟
🟠 بله. اگر در آغاز تیله به تپه نزدیک باشد و سرعت آغازین ش هم به حد کافی زیاد باشد، از تپه رد می‌شود. البته چون موقع ضربه زدن به تیله، قصد ما این نبوده که تیله از تپه رد بشود، در بیش‌تر حالت‌های آزمایش، آن شرایط فراهم نمی‌شود و حرکت تیله تقریبا تناوبی ه. من فقط فرض کردم که گاهی، به ندرت، خیلی خطا کنیم و شرایط اولیه، بد انتخاب شود!
🔵 پس فرض کرده‌ای که هزاران بار آزمایش را تکرار می‌کنیم. هر بار سعی می‌کنیم تیله را در ته دره قرار بدهیم اما به ناچار، در جایابی خطا می‌کنیم. و هر بار سعی می‌کنیم ضربه‌ی مناسبی به تیله بزنیم اما در این کار هم خطایی داریم.
🟠 در کشیدن «شکل ۱»، فرض کرده‌ام که گاهی حتی به سمت چپ ضربه زده‌ایم.
🔵 آن‌جا که سرعت منفی ه؟
🟠 بله. پس هر نقطه در ناحیه‌ی خطای «شکل ۱»، در واقع نماینده‌ی مکان و سرعت اوليه‌ی تیله در هر آزمایش ه.
🔵 نمی‌شود به جای آن که فرض کنیم با یک تیله هزاربار آزمایش را تکرار می‌کنیم، با هزار تیله فقط یک‌بار آزمایش کنیم؟
🟠 اگر تیله‌ها با هم برهم‌کنش نکنند، مثل ذرات گاز ایده‌آل، نتیجه همان ه. یعنی اگر «شکل ِ ۱» نماینده‌ی مکان و سرعت آغازین ِ تیله‌ها باشد، آن‌گاه «شکل ۳» نماینده‌ی مکان و سرعت تیله‌ها در زمانی ه که بیش‌تر ِ آن‌ها، یک‌بار نوسان کرده‌اند.
🔵 پس این دره مثل ظرفی ه که با گاز کامل پر شده ولی بعضی از ذرات گاز به بیرون نشت می‌کنند!
🟠 چون با گذشت زمان، بخش سوزنی ِ نمودار، بلندتر و باریک‌تر می‌شود، برای تعیین مکان و سرعت آن دسته از ذرات، باز دچار خطا می‌شویم.
🔵 چه اهمیتی دارد؟ مگر نه این که محدوده‌ی شرایط آغازین را بلد ایم؟ خب با حل معادله‌ی نیوتن می‌توانیم سرنوشت تیله‌هایی را که حرکت‌شان از آن محدوده شروع شده است، تعیین کنیم. مجبور نیستیم چیزی را اندازه‌گیری کنیم!
🟠 بله. ولی هر محاسبه‌ای هم خطا دارد. مثلا تعداد رقم‌های اعشاری که در هر گام ثبت می‌کنیم متناهی ه!
🔵 یعنی برای تعیین شکل سوزن، مجبور ایم ناحیه‌ی وسیع‌تری را در نظر بگیریم که شامل سوزن باشد؟
🟠 دقیقا.
🔵 این جوری که عامدانه سطح ناحیه‌ی خطا را افزایش می‌دهیم!
🟠 چاره‌ای نیست. چون نمی‌توانیم با دقت نامحدود محاسبه یا اندازه‌گیری کنیم، اطلاعات را گم می‌کنیم.
🔵 این مسئله‌ای که توصیف می‌کنی، همان قضیه‌ی افزایش آنتروپی نیست؟
🟠 دست‌کم برای گاز ايده‌آلی که درون لوله‌ای محبوس شده، همان است.
خبر-۶
🔵 در بحث قبلی، آن بخش ِ نوک‌تیز ِ «شکل ۳»، نماینده‌ی حالت‌هایی ه که تیله از تپه رد شده است؟
🟠 بله. اگر در آغاز تیله به تپه نزدیک باشد و سرعت آغازین ش هم به حد کافی زیاد باشد، از تپه رد می‌شود. البته چون موقع ضربه زدن به تیله، قصد ما این نبوده که تیله از تپه رد بشود، در بیش‌تر حالت‌های آزمایش، آن شرایط فراهم نمی‌شود و حرکت تیله تقریبا تناوبی ه. من فقط فرض کردم که گاهی، به ندرت، خیلی خطا کنیم و شرایط اولیه، بد انتخاب شود!
🔵 پس فرض کرده‌ای که هزاران بار آزمایش را تکرار می‌کنیم. هر بار سعی می‌کنیم تیله را در ته دره قرار بدهیم اما به ناچار، در جایابی خطا می‌کنیم. و هر بار سعی می‌کنیم ضربه‌ی مناسبی به تیله بزنیم اما در این کار هم خطایی داریم.
🟠 در کشیدن «شکل ۱»، فرض کرده‌ام که گاهی حتی به سمت چپ ضربه زده‌ایم.
🔵 آن‌جا که سرعت منفی ه؟
🟠 بله. پس هر نقطه در ناحیه‌ی خطای «شکل ۱»، در واقع نماینده‌ی مکان و سرعت اوليه‌ی تیله در هر آزمایش ه.
🔵 نمی‌شود به جای آن که فرض کنیم با یک تیله هزاربار آزمایش را تکرار می‌کنیم، با هزار تیله فقط یک‌بار آزمایش کنیم؟
🟠 اگر تیله‌ها با هم برهم‌کنش نکنند، مثل ذرات گاز ایده‌آل، نتیجه همان ه. یعنی اگر «شکل ِ ۱» نماینده‌ی مکان و سرعت آغازین ِ تیله‌ها باشد، آن‌گاه «شکل ۳» نماینده‌ی مکان و سرعت تیله‌ها در زمانی ه که بیش‌تر ِ آن‌ها، یک‌بار نوسان کرده‌اند.
🔵 پس این دره مثل ظرفی ه که با گاز کامل پر شده ولی بعضی از ذرات گاز به بیرون نشت می‌کنند!
🟠 چون با گذشت زمان، بخش سوزنی ِ نمودار، بلندتر و باریک‌تر می‌شود، برای تعیین مکان و سرعت آن دسته از ذرات، باز دچار خطا می‌شویم.
🔵 چه اهمیتی دارد؟ مگر نه این که محدوده‌ی شرایط آغازین را بلد ایم؟ خب با حل معادله‌ی نیوتن می‌توانیم سرنوشت تیله‌هایی را که حرکت‌شان از آن محدوده شروع شده است، تعیین کنیم. مجبور نیستیم چیزی را اندازه‌گیری کنیم!
🟠 بله. ولی هر محاسبه‌ای هم خطا دارد. مثلا تعداد رقم‌های اعشاری که در هر گام ثبت می‌کنیم متناهی ه!
🔵 یعنی برای تعیین شکل سوزن، مجبور ایم ناحیه‌ی وسیع‌تری را در نظر بگیریم که شامل سوزن باشد؟
🟠 دقیقا.
🔵 این جوری که عامدانه سطح ناحیه‌ی خطا را افزایش می‌دهیم!
🟠 چاره‌ای نیست. چون نمی‌توانیم با دقت نامحدود محاسبه یا اندازه‌گیری کنیم، اطلاعات را گم می‌کنیم.
🔵 این مسئله‌ای که توصیف می‌کنی، همان قضیه‌ی افزایش آنتروپی نیست؟
🟠 دست‌کم برای گاز ايده‌آلی که درون لوله‌ای محبوس شده، همان است.
۴۵
خبر-۷
🔴 اگر این کاغذ را آتش بزنم و تو بتوانی رد نور و دود و خاکستر ش را دنبال کنی، با دقت خوبی از پیامی که روی کاغذ نوشته شده است باخبر می‌شوی.
🔵 راست می‌گوید؟
🟢 در نظر بله. برای ساده‌گی فرض کن کاغذ را درون جعبه‌ای بگذاریم که دیواره‌ها ش از آینه‌های خوبی ساخته شده است؛ آینه‌هایی که پرتوهای نور را تمام و کمال باز می‌تاباند. سر ساعت معینی، شعله‌ای درون جعبه روشن می‌شود و کاغذ را می‌سوزاند. اگر از دود و خاکستر چشم‌پوشی کنیم، همه‌ی اخباری که روی کاغذ بوده به نور تبدیل می‌شود و به تدریج از حفره‌ی کوچکی که روی یکی از دیواره‌ها تعبیه شده، از جعبه به بیرون نشت می‌کند.
🔵 گفتی در نظر. اما آیا چنین کاری، عملی هم هست؟
🟢 شاید! فرایند سوختن کاغذ و تولید نور، فرایندی شیمیایی ه. پس اگر حالت کوانتمی جعبه و محتوای آن را در لحظه‌ی روشن شدن شعله بدانیم، حالت کوانتمی مجموعه‌ی پرتوهای نور، وقتی که همه‌ی آن‌ها به بیرون نشت کرده‌اند را هم می‌دانیم.
🟠 مسئله‌ی اصلی، در واقع وارونه است. باید بتوانیم با مطالعه‌ی پرتوهای نوری که به بیرون گریخته، حالت کوانتمی مجموعه‌ی آن‌ها را بنویسیم و از مکانیک کوانتمی هم تعیین کنیم که این حالت کوانتمی نظیر چه حالت آغازینی بوده است. یعنی باید تحول زمانی هر مخلوطی از کاغذ و خبر و هوا و شعله را بدانیم تا بفهمیم آن پرتوهای نور، حاصل چه حالت آغازینی بوده است.
🔴 شاید برای حدس زدن محتوای پیام، مجبور نباشیم که همه‌ی پرتوهای نور را ثبت کنیم. مطالعه‌ی چه کسری از کل پرتوها کافی ه تا با دقت خوبی پیام را حدس بزنیم؟
🟢 باید صبر کنیم تا دست کم نیمی از پرتوها به بیرون نشت کند. پس از آن، محتوای پیام کم‌کم آشکار می‌شود. اما پیش از آن لحظه، مجموعه‌ی پرتوهای نشت کرده، حاوی اطلاعاتی نیست.
🔵 چرا؟
🟢 برای فهمیدن ش باید بدانیم اندازه‌ی اطلاعات نهفته در پرتوها را چه‌گونه بسنجیم.
یادداشت: این گفتگو ملهم از فصل ۸ این کتاب است.
خبر-۷
🔴 اگر این کاغذ را آتش بزنم و تو بتوانی رد نور و دود و خاکستر ش را دنبال کنی، با دقت خوبی از پیامی که روی کاغذ نوشته شده است باخبر می‌شوی.
🔵 راست می‌گوید؟
🟢 در نظر بله. برای ساده‌گی فرض کن کاغذ را درون جعبه‌ای بگذاریم که دیواره‌ها ش از آینه‌های خوبی ساخته شده است؛ آینه‌هایی که پرتوهای نور را تمام و کمال باز می‌تاباند. سر ساعت معینی، شعله‌ای درون جعبه روشن می‌شود و کاغذ را می‌سوزاند. اگر از دود و خاکستر چشم‌پوشی کنیم، همه‌ی اخباری که روی کاغذ بوده به نور تبدیل می‌شود و به تدریج از حفره‌ی کوچکی که روی یکی از دیواره‌ها تعبیه شده، از جعبه به بیرون نشت می‌کند.
🔵 گفتی در نظر. اما آیا چنین کاری، عملی هم هست؟
🟢 شاید! فرایند سوختن کاغذ و تولید نور، فرایندی شیمیایی ه. پس اگر حالت کوانتمی جعبه و محتوای آن را در لحظه‌ی روشن شدن شعله بدانیم، حالت کوانتمی مجموعه‌ی پرتوهای نور، وقتی که همه‌ی آن‌ها به بیرون نشت کرده‌اند را هم می‌دانیم.
🟠 مسئله‌ی اصلی، در واقع وارونه است. باید بتوانیم با مطالعه‌ی پرتوهای نوری که به بیرون گریخته، حالت کوانتمی مجموعه‌ی آن‌ها را بنویسیم و از مکانیک کوانتمی هم تعیین کنیم که این حالت کوانتمی نظیر چه حالت آغازینی بوده است. یعنی باید تحول زمانی هر مخلوطی از کاغذ و خبر و هوا و شعله را بدانیم تا بفهمیم آن پرتوهای نور، حاصل چه حالت آغازینی بوده است.
🔴 شاید برای حدس زدن محتوای پیام، مجبور نباشیم که همه‌ی پرتوهای نور را ثبت کنیم. مطالعه‌ی چه کسری از کل پرتوها کافی ه تا با دقت خوبی پیام را حدس بزنیم؟
🟢 باید صبر کنیم تا دست کم نیمی از پرتوها به بیرون نشت کند. پس از آن، محتوای پیام کم‌کم آشکار می‌شود. اما پیش از آن لحظه، مجموعه‌ی پرتوهای نشت کرده، حاوی اطلاعاتی نیست.
🔵 چرا؟
🟢 برای فهمیدن ش باید بدانیم اندازه‌ی اطلاعات نهفته در پرتوها را چه‌گونه بسنجیم.
یادداشت: این گفتگو ملهم از فصل ۸ این کتاب است.
Worldscientific
An Introduction to Black Holes, Information and the String Theory Revolution
Over the last decade the physics of black holes has been revolutionized by developments that grew out of Jacob Bekenstein's realization that black holes have entropy. Stephen Hawking raised profoun...
۴۶
خبر-۸
🟢 برای اندازه‌گیری خبر نهفته در پرتوها، باید توجه کنیم که در هر لحظه، حالت کوانتمی پرتوهایی که نشت کرده‌اند با حالت کوانتمی پرتوهایی که درون جعبه‌اند درهم‌تنیده است.
🔵 درهم‌تنیده؟
🔴 یعنی مثل حالت‌های دو کارت کوانتمی جادو شده اند. #خبر_۳.
🟢 چون مجموعه‌ی پرتوهای نور درون و بیرون جعبه در «یک حالت کوانتمی» قرار دارد، آنتروپی این مجموعه هم‌واره صفر است.
🔴 مطمئن ای؟ فرض کن هنوز چیز زیادی به بیرون نشت نکرده است. پس ظرف داغی داریم پر از گاز فوتونی. روشن ه که آنتروپی ش صفر نیست.
🟢 درست ه. چون فرض کرده‌ایم اندازه‌ی سوراخ روی جعبه کوچک ه، در هر لحظه، و از جمله در لحظه‌ی نخست، گاز فوتونی درون جعبه دمای معینی دارد، پس «آنتروپی گرمایی» آن ناصفر ه. منظور من از آنتروپی، «آنتروپی درهم‌تنیده‌گی» بود که برای مجموعه‌ی کل پرتوها صفر ه.
🔵 پس به پرتوهای درون جعبه دو جور آنتروپی نسبت می‌دهی: «آنتروپی درهم‌تنیده‌گی» و «آنتروپی گرمایی».
🟢 بله. ولی برای ساده‌گی به جای «آنتروپی درهم‌تنیده‌گی» کوتاه می‌گویم آنتروپی. در لحظه‌ی نخست، همه‌ی پرتوها درون جعبه‌اند و هنوز پرتوی به بیرون نشت نکرده است و آنتروپی پرتوهای درون جعبه صفر ه هرچند آنتروپی گرمایی آن‌ها صفر نیست. پس از مدتی، بخشی از پرتوها به بیرون نشت می‌کنند. فرض کنیم این پرتوها آزادانه در فضای اطراف منتشر می‌شوند و در نتیجه، حالت کوانتمی آن‌ها هم‌چنان با حالت کوانتمی پرتوهای درون جعبه درهم‌تنیده است. پس هنوز آنتروپی کل صفر ه. اما آنتروپی پرتوهای درون جعبه صفر نیست. آنتروپی پرتوهای بیرون جعبه هم صفر نیست. نکته‌ی جالب این ه که اندازه‌ی آن‌ها با هم برابر ه.
🔴 دست بردار. می‌گویی کل پرتوها به دو دسته تقسیم شده‌اند: آن‌ها که درون جعبه‌اند و آن‌ها که بیرون جعبه‌اند. ادعا می‌کنی آنتروپی هرکدام از این دسته‌ها ناصفر ه، با هم برابر ه ولی جمع شان صفر ه؟
🟢 نگفتم جمع شان صفر ه. گفتم آنتروپی مجموع پرتوها صفر ه.
🔵 به نظر م هنوز داری به آنتروپی گرمایی فکر می‌کنی. در صورتی که قرار شد در این گفتگو، واژه‌ی آنتروپی را به جای آنتروپی درهم‌تنیده‌گی بگیریم. ظاهرا ادعا این ه که آنتروپی درهم‌تنیده‌گی همیشه جمع‌پذیر نیست.
🟢 بله آنتروپی درهم‌تنیده‌گی و آنتروپی گرمایی دو مفهوم متفاوت اند. در واقع تفاضل مقدار آن‌ها برای پرتوهای درون جعبه برابر ه با اندازه‌ی اطلاعات (خبر) نهفته در جعبه!
🔴 چه تعریف غریبی!
🟢 نکته‌ی مهم این ه که وقتی مقدار پرتوهای نشت کرده از نصف کل پرتوها کم‌تر ه، آنتروپی آن‌ها کمابیش با آنتروپی گرمایی شان برابر ه.
🔵 پس در آن‌ها چندان خبری نیست.
🔴 با این حساب وقتی که کمی بیش‌تر از نیمی از پرتوها به بیرون نشت کند آنتروپی آن‌ها، با آنتروپی درون جعبه و در نتیجه با آنتروپی گرمایی درون جعبه برابر می‌شود.
🔵 نفهمیدم. چرا؟
🔴 چون حالا کم‌تر از نیمی از پرتوها درون جعبه باقی مانده است. پس آنتروپی آن‌ها کمابیش با آنتروپی گرمایی شان برابر ه. آنتروپی آن‌ها که بیرون جعبه اند هم همیشه با آنتروپی آن‌ها که درون جعبه اند برابر ه.
🟢 و از این لحظه به بعد، اخبار به بیرون درز می‌کند. اندازه‌ی خبری که درون پرتوهای نشت کرده نهفته است برابر است با تفاضل آنتروپی گرمایی خودشان و آنتروپی گرمایی پرتوهایی که هنوز درون جعبه‌اند.
🔵 بگذارید ببینم درست فهمیده‌ام یا نه. در آغاز، همه‌ی پرتوها درون جعبه‌اند و آنتروپی آن‌ها صفر ه. پس اندازه‌ی آنتروپی گرمایی پرتوها برابر ه با اندازه‌ی خبری که درون جعبه نهفته است. پس از مدتی، پرتوهایی به بیرون نشت می‌کنند که دربردارنده‌ی خبری نیستند. تا به «لحظه‌ی درز خبر» برسیم.
🔴 پس از آن، در هر لحظه کسری (بزرگ‌تر از یک دوم) از پرتوها بیرون اند و آنتروپی گرمایی آن‌ها کمابیش برابر ه با «مقدار همان کسر» ضرب‌در «آنتروپی گرمایی در آغاز». شاید به‌تر ه بگویم آنتروپی گرمایی در هر لحظه برابر ه با اندازه‌ی «کسر در آن لحظه» ضرب‌در «اندازه‌ی خبر». منظور م از اصطلاح «اندازه‌ی خبر»، مقدار کل اطلاعاتی ه که در آغاز درون جعبه نهفته است.
🔵 آنتروپی گرمایی پرتوهای درون جعبه هم کمابیش برابر ه با «یک منهای کسر در آن لحظه» ضرب‌در «اندازه‌ی خبر». درست ه؟
🟢 بله. چون مجموع «کسری از پرتوها که به بیرون تابیده اند» و «کسری از پرتوها که درون جعبه باقی مانده اند» برابر است با یک!
🔵 در نتیجه، از پس از لحظه‌ی درز خبر، «اندازه‌ی خبر درز کرده در هر لحظه» کمابیش برابر ه با «دو برابر کسر در آن لحظه، منهای یک» ضرب‌در «اندازه‌ی خبر».
یادداشت: این گفتگو ملهم از فصل ۸ این کتاب است:
https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/5689#t=aboutBook
خبر-۸
🟢 برای اندازه‌گیری خبر نهفته در پرتوها، باید توجه کنیم که در هر لحظه، حالت کوانتمی پرتوهایی که نشت کرده‌اند با حالت کوانتمی پرتوهایی که درون جعبه‌اند درهم‌تنیده است.
🔵 درهم‌تنیده؟
🔴 یعنی مثل حالت‌های دو کارت کوانتمی جادو شده اند. #خبر_۳.
🟢 چون مجموعه‌ی پرتوهای نور درون و بیرون جعبه در «یک حالت کوانتمی» قرار دارد، آنتروپی این مجموعه هم‌واره صفر است.
🔴 مطمئن ای؟ فرض کن هنوز چیز زیادی به بیرون نشت نکرده است. پس ظرف داغی داریم پر از گاز فوتونی. روشن ه که آنتروپی ش صفر نیست.
🟢 درست ه. چون فرض کرده‌ایم اندازه‌ی سوراخ روی جعبه کوچک ه، در هر لحظه، و از جمله در لحظه‌ی نخست، گاز فوتونی درون جعبه دمای معینی دارد، پس «آنتروپی گرمایی» آن ناصفر ه. منظور من از آنتروپی، «آنتروپی درهم‌تنیده‌گی» بود که برای مجموعه‌ی کل پرتوها صفر ه.
🔵 پس به پرتوهای درون جعبه دو جور آنتروپی نسبت می‌دهی: «آنتروپی درهم‌تنیده‌گی» و «آنتروپی گرمایی».
🟢 بله. ولی برای ساده‌گی به جای «آنتروپی درهم‌تنیده‌گی» کوتاه می‌گویم آنتروپی. در لحظه‌ی نخست، همه‌ی پرتوها درون جعبه‌اند و هنوز پرتوی به بیرون نشت نکرده است و آنتروپی پرتوهای درون جعبه صفر ه هرچند آنتروپی گرمایی آن‌ها صفر نیست. پس از مدتی، بخشی از پرتوها به بیرون نشت می‌کنند. فرض کنیم این پرتوها آزادانه در فضای اطراف منتشر می‌شوند و در نتیجه، حالت کوانتمی آن‌ها هم‌چنان با حالت کوانتمی پرتوهای درون جعبه درهم‌تنیده است. پس هنوز آنتروپی کل صفر ه. اما آنتروپی پرتوهای درون جعبه صفر نیست. آنتروپی پرتوهای بیرون جعبه هم صفر نیست. نکته‌ی جالب این ه که اندازه‌ی آن‌ها با هم برابر ه.
🔴 دست بردار. می‌گویی کل پرتوها به دو دسته تقسیم شده‌اند: آن‌ها که درون جعبه‌اند و آن‌ها که بیرون جعبه‌اند. ادعا می‌کنی آنتروپی هرکدام از این دسته‌ها ناصفر ه، با هم برابر ه ولی جمع شان صفر ه؟
🟢 نگفتم جمع شان صفر ه. گفتم آنتروپی مجموع پرتوها صفر ه.
🔵 به نظر م هنوز داری به آنتروپی گرمایی فکر می‌کنی. در صورتی که قرار شد در این گفتگو، واژه‌ی آنتروپی را به جای آنتروپی درهم‌تنیده‌گی بگیریم. ظاهرا ادعا این ه که آنتروپی درهم‌تنیده‌گی همیشه جمع‌پذیر نیست.
🟢 بله آنتروپی درهم‌تنیده‌گی و آنتروپی گرمایی دو مفهوم متفاوت اند. در واقع تفاضل مقدار آن‌ها برای پرتوهای درون جعبه برابر ه با اندازه‌ی اطلاعات (خبر) نهفته در جعبه!
🔴 چه تعریف غریبی!
🟢 نکته‌ی مهم این ه که وقتی مقدار پرتوهای نشت کرده از نصف کل پرتوها کم‌تر ه، آنتروپی آن‌ها کمابیش با آنتروپی گرمایی شان برابر ه.
🔵 پس در آن‌ها چندان خبری نیست.
🔴 با این حساب وقتی که کمی بیش‌تر از نیمی از پرتوها به بیرون نشت کند آنتروپی آن‌ها، با آنتروپی درون جعبه و در نتیجه با آنتروپی گرمایی درون جعبه برابر می‌شود.
🔵 نفهمیدم. چرا؟
🔴 چون حالا کم‌تر از نیمی از پرتوها درون جعبه باقی مانده است. پس آنتروپی آن‌ها کمابیش با آنتروپی گرمایی شان برابر ه. آنتروپی آن‌ها که بیرون جعبه اند هم همیشه با آنتروپی آن‌ها که درون جعبه اند برابر ه.
🟢 و از این لحظه به بعد، اخبار به بیرون درز می‌کند. اندازه‌ی خبری که درون پرتوهای نشت کرده نهفته است برابر است با تفاضل آنتروپی گرمایی خودشان و آنتروپی گرمایی پرتوهایی که هنوز درون جعبه‌اند.
🔵 بگذارید ببینم درست فهمیده‌ام یا نه. در آغاز، همه‌ی پرتوها درون جعبه‌اند و آنتروپی آن‌ها صفر ه. پس اندازه‌ی آنتروپی گرمایی پرتوها برابر ه با اندازه‌ی خبری که درون جعبه نهفته است. پس از مدتی، پرتوهایی به بیرون نشت می‌کنند که دربردارنده‌ی خبری نیستند. تا به «لحظه‌ی درز خبر» برسیم.
🔴 پس از آن، در هر لحظه کسری (بزرگ‌تر از یک دوم) از پرتوها بیرون اند و آنتروپی گرمایی آن‌ها کمابیش برابر ه با «مقدار همان کسر» ضرب‌در «آنتروپی گرمایی در آغاز». شاید به‌تر ه بگویم آنتروپی گرمایی در هر لحظه برابر ه با اندازه‌ی «کسر در آن لحظه» ضرب‌در «اندازه‌ی خبر». منظور م از اصطلاح «اندازه‌ی خبر»، مقدار کل اطلاعاتی ه که در آغاز درون جعبه نهفته است.
🔵 آنتروپی گرمایی پرتوهای درون جعبه هم کمابیش برابر ه با «یک منهای کسر در آن لحظه» ضرب‌در «اندازه‌ی خبر». درست ه؟
🟢 بله. چون مجموع «کسری از پرتوها که به بیرون تابیده اند» و «کسری از پرتوها که درون جعبه باقی مانده اند» برابر است با یک!
🔵 در نتیجه، از پس از لحظه‌ی درز خبر، «اندازه‌ی خبر درز کرده در هر لحظه» کمابیش برابر ه با «دو برابر کسر در آن لحظه، منهای یک» ضرب‌در «اندازه‌ی خبر».
یادداشت: این گفتگو ملهم از فصل ۸ این کتاب است:
https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/5689#t=aboutBook
در گفتگوهای اخیر دیدیم که در فرایندهای شناخته شده، خبر حفظ می‌شود. با کشف تابش هاوکینگ پرسشی پیش آمد که پاسخ آن هنوز روشن نیست: آیا تشکیل و تبخیر سیاه‌چاله‌ها منجر به نابودی اخبار می‌شود؟ پاسخ ش را نمی‌دانیم. برای آشنایی با موضوع، پیش‌نهاد می‌کنم فصل ۹ کتابی که در دو گفتگوی پیشین معرفی کردم را ببینید یا خلاصه‌ی موضوع را در این صفحه بخوانید.
هم‌چنین پیش‌نهاد می‌کنم این دو صفحه را ببینید.
https://en.wikipedia.org/wiki/Firewall_(physics)
https://www.preposterousuniverse.com/blog/2013/06/05/firewalls-burning-brightly/
این نوشته، آخرین مطلب کانال گفتگو درباره‌ی «فضا، زمان و فضازمان» است. همه‌ی گفتگوهای پیشین را یک‌جا آورده‌ام.
کانال را باز نگه می‌دارم و «گروه» را، تا به بحث ادامه دهیم.
هم‌چنین پیش‌نهاد می‌کنم این دو صفحه را ببینید.
https://en.wikipedia.org/wiki/Firewall_(physics)
https://www.preposterousuniverse.com/blog/2013/06/05/firewalls-burning-brightly/
این نوشته، آخرین مطلب کانال گفتگو درباره‌ی «فضا، زمان و فضازمان» است. همه‌ی گفتگوهای پیشین را یک‌جا آورده‌ام.
کانال را باز نگه می‌دارم و «گروه» را، تا به بحث ادامه دهیم.
Wikipedia
Black hole complementarity
conjectured solution to the black hole information paradox
سلام. متن سخنرانی م در روی‌داد دانشجویی دهه‌ی ریاضیات را تقدیم می‌کنم. در بخش نخست می‌بینیم که الکترون‌ها از همه جا با خبر اند. در بخش دوم که کمی فنی است، به فضای هیلبرت و مسئله‌ی بازل نگاهی می‌کنیم.
اگر خطایی یافتید، لطفا یادآوری کنید تا اصلاح کنم.
اگر خطایی یافتید، لطفا یادآوری کنید تا اصلاح کنم.