Две похожие задачи. (H - ортоцентр, G - центроид, O - центр описанной, L - точка Лемуана)
🔥5👍2❤1
Задача дня
Две похожие задачи. (H - ортоцентр, G - центроид, O - центр описанной, L - точка Лемуана)
Обобщение.
Пусть Y - произвольная точка. A', B', C' точки на BC, AC, AB. AY пересекает (AB'C') в D. Аналогично определены E и F. M точка пересечения (C'AB'), (B'CA'), (A'BC'). Докажите, что Y, D, E, F, M на 1 окружности.
Пусть Y - произвольная точка. A', B', C' точки на BC, AC, AB. AY пересекает (AB'C') в D. Аналогично определены E и F. M точка пересечения (C'AB'), (B'CA'), (A'BC'). Докажите, что Y, D, E, F, M на 1 окружности.
🔥6👍1
Классная задача от @romath69.
Вписанная окружность ABC касается сторон в точках DEF. P_AP_BP_C - основания биссектрис треугольника DEF. Докажите, что AP_A, BP_B, CP_C пересекаются в 1 точке, которая лежит на прямой соединяющей инцентры ABC и DEF.
Вписанная окружность ABC касается сторон в точках DEF. P_AP_BP_C - основания биссектрис треугольника DEF. Докажите, что AP_A, BP_B, CP_C пересекаются в 1 точке, которая лежит на прямой соединяющей инцентры ABC и DEF.
👍7🤡1
Моя любимая (пока) задача с юмт гранд лиги и её обобщение, которое я придумал на бою.
Задача: Дан треугольник ABC. N - точка пересечения полувписанных окружностей вершин A и C. Докажите, что существует окружность через A и B, касающаяся касательных из N ко вписанной ABC.
Обобщение: У треугольников ABC и PQR общая вписанная окружность. Докажите, что если P лежит на полувписанной окружности ABC для вершины A, то A лежит на полувписанной окружности PQR для вершины P.
Задача: Дан треугольник ABC. N - точка пересечения полувписанных окружностей вершин A и C. Докажите, что существует окружность через A и B, касающаяся касательных из N ко вписанной ABC.
Обобщение: У треугольников ABC и PQR общая вписанная окружность. Докажите, что если P лежит на полувписанной окружности ABC для вершины A, то A лежит на полувписанной окружности PQR для вершины P.
❤4
Ещё одно обобщение задачи выше от @FalconAnatol
Пусть окружность касается полувписанных для вершин A и B. Тогда существует окружность, проходящая через A и B и касающаяся её общих касательных со вписанной.
Пусть окружность касается полувписанных для вершин A и B. Тогда существует окружность, проходящая через A и B и касающаяся её общих касательных со вписанной.
❤9👍1
Шизофакт, но мне понравилось доказательство, которое я придумал.
👍2😱1
Наконец-то у меня дошли руки до этой красоты.
Пусть DEF чевианный треугольник точки P относительно ABC. Докажите, что ортотрансверсаль* P относительно ABC - это поляра точки P относительно педальной окружности точки P относительно DEF.
*Ортотрансверсалью точки P относительно треугольника ABC называется прямая проходящая через пересечения перпендикуляров из P к чевианам через P с соответственными сторонами.
Пусть DEF чевианный треугольник точки P относительно ABC. Докажите, что ортотрансверсаль* P относительно ABC - это поляра точки P относительно педальной окружности точки P относительно DEF.
*Ортотрансверсалью точки P относительно треугольника ABC называется прямая проходящая через пересечения перпендикуляров из P к чевианам через P с соответственными сторонами.
❤5🖕1
Заметил такой фактик в etc. Решается в пару строк, но красиво.
Пусть вписанная окружность треугольника ABC касается BC в точке D. D' - сииметричная D относительно OI. Доказать, что D' и точка фейербаха на изогоналях из вершины A.
Upd: это оказывается уже было в олимпиадной геометрии
https://www.tgoop.com/olympgeom/1191
Пусть вписанная окружность треугольника ABC касается BC в точке D. D' - сииметричная D относительно OI. Доказать, что D' и точка фейербаха на изогоналях из вершины A.
Upd: это оказывается уже было в олимпиадной геометрии
https://www.tgoop.com/olympgeom/1191
💊4❤3
Спасибо за 500 подписчиков!
Я тут оформлял свои старые авторские задачи и нашел вот такую которая легко считается в чем угодно, но факт выглядит красиво.
Оказывается в неравнобедренном треугольнике прямая нагеля проходит через основание симмедианы тогда и только тогда когда выполнено соотношение с рисунка.
Я тут оформлял свои старые авторские задачи и нашел вот такую которая легко считается в чем угодно, но факт выглядит красиво.
Оказывается в неравнобедренном треугольнике прямая нагеля проходит через основание симмедианы тогда и только тогда когда выполнено соотношение с рисунка.
🎉14💋3✍2